Download onderstaande tekst in <*.pdf> formaat,
April 2024 ; Ir. Johan Broekaert
; broekaert.devriendt@gmail.com (naar
Inhoud)
Woord vooraf (terug naar Inhoud)
“Toegepaste Wetenschappen” : het precies stemmen
van de piano van mijn echtgenote volgens het gelijkzwevend temperament,
met behulp van een professionele laboratorium frequentie meter van zeer
hoge precisie - meer dan acht cijfers precies -, heeft geleid tot een
grote teleurstelling bij haar en mijn oudste dochter, … mijn echtgenote
heeft in haar jeugd het geluk gehad om voor het stemmen van haar piano
verwend te zijn geweest door J. Trappeniers (1902- ?), een
toen in Brussel en Vlaanderen populair muzikant en componist, die als
bijverdienste auditief piano’s stemde - zuiver op het oor dus -. Om zijn
werk te beoordelen speelde hij na het stemmen steeds enkele
muziekstukjes.
Overleg na dit gelijkzwevend piano stemmen, en ook
het ophalen van de notenleer uit haar jeugd, bracht bij mijn echtgenote
de vaststelling naar boven, dat één octaaf een totaal van 53 komma’s
omvat, ...- drie en vijftig komma’s ! ! -, … vanwaar in
‘s hemels’ naam die drie en vijftig komma’s ?
Met drie en vijftig komma’s in één octaaf is het dus niet mogelijk dat de twaalf halve tonen van één octaaf zouden gelijk zijn. Het begin van een lange doch leerrijke en aangename zoektocht, gepaard aan het vier jaar lang slijten van een broek op de banken van de muziekacademie van Mortsel, waar men het in Keulen hoorde donderen, ...
Deze tekst is niets meer dan een grotendeels
vulgariserende doch strikt rationele beschrijving van elementen en
structuren in de muziek, waarmee een componist, een dirigent, een
muzikant, artistieke talenten kan ontplooien en voorbrengen tot meerder
luistergenot van toehoorders en publiek. Meer diepgaande lectuur is
natuurlijk mogelijk, bijvoorbeeld bij Kelletat H. (1981, 1982),
Rasch R. (1984), Jedrzejewski F. (2002),
Sethares W. (2005), Di Veroli C. (2008), Calvet A.
(2020), , enz … Fundamenteel gesproken is er niets nieuws onder de zon,
en zijn de meeste elementen die in deze tekst worden besproken reeds
gekend van sinds het begin van de 18-de eeuw, … en soms zelfs veel
vroeger, en toch blijven veel vragen dikwijls onbeantwoord, zelfs al
bestaat het antwoord reeds lang.
Deze tekst is vergelijkbaar met de wetenschappelijke
beschrijving van de kleuren, vormen en perspectief van schilderijen, of
van de structuur en scheikundige samenstelling van eetwaren, drank of
geuren ; deze dragen eveneens niets bij tot de artistieke waarde
van een doek, of tot de prestaties van kok, œnoloog, parfumeur, … maar
laten toe de zaken beter te begrijpen en waarderen.
De mooie muziekkunst op zich, vanaf inspiratie over het componeren tot het uitvoeren, wordt in deze tekst niet besproken.
De tekst omvat het
resultaat van talloze en langdurige individuele opzoekingen, analyses en
bevindingen betreffende muzikale temperamenten. Hij zou niet mogelijk
geweest zijn, zonder moderne opzoekmogelijkheden en rekenmiddelen.
Helaas blijft recente wetenschappelijk literatuur soms toch nog steeds
moeilijk bereikbaar, zelfs als is ze dikwijls tot stand gekomen dank zij
financiering door de overheid, - door de bevolking dus -.
De tekst betreft het muzikaal stemmen van westerse
muziekinstrumenten met vaste toonhoogtes, klavieren in het bijzonder,
zoals bijvoorbeeld orgels, piano’s, klavecimbels, maar ook blaas- en
snaarinstrumenten, en dergelijke meer.
Hij heeft tot doel een zo breed mogelijke muzikale en rationele
verklaring te omvatten, van de elementen die bepalend zijn voor het
stemmen van een instrument, kortom, voor het bekomen van een gewenst
temperament.
Temperamenten kwamen historisch tot stand, soms
intuïtief, ingevolge de auditieve waarneming van samenklanken, -
intervallen en akkoorden -, op basis van een fijn, gevormd en ontwikkeld
muzikaal oor en gevoel, dikwijls zelfs zonder een hieraan gepaarde
musicologische analyse.
Op basis van de verzamelde bevindingen, kan men
vaststellen dat haast alle historisch voorgestelde temperamenten
neerkomen op een streven naar verbetering van de grote tertsen binnen de
diatonische toonladder op C-groot, met als gevolg dat de betrokken
kwinten binnen deze toonladder iets verminderen op het gebied van hun
toonhoogte-verhouding.
Voor temperamenten waarvoor een analyse werd
uitgewerkt en gepubliceerd, kan men bemerken dat de meeste analyses
werden uitgevoerd op basis van afwijkingen van de verhoudingen van
toonhoogtes of op basis van proportionele verdeling van komma's,
dikwijls ook uitgedrukt in cents in plaats van verhoudingen, wat
mogelijke berekeningen sterk vereenvoudigt en versnelt.
Achteraf bekeken kan men een mogelijk en tamelijk
éénzijdig gehecht belang aan komma's, verhoudingen of cents verrassend
vinden, gezien de totstandkoming van temperamenten op basis van
auditieve waarnemingen vooral gebaseerd was op zeer fijnzinnige
waarneming van zwevingen binnen samenklanken. Aldus bekeken, kampt de
musicologie met een zwaar onderschat historisch probleem, waarbij men
zonder er zich ten volle van bewust te zijn, gewerkt heeft met twee
maten en twee gewichten : de auditieve maat op basis van zwevingen,
van de muzikant en stemmer, en de meetkundige maat met verhoudingen, van
de musicoloog, dit laatste vooral in navolging van Pythagoras. Het
gevolg is dat er heel wat temperamenten zijn waarvoor men niet met
zekerheid weet wat primeert in de beoordeling ; er is een probleem
van wat eerst kwam, de zwevingen of de verhoudingen ? - zoals men
ook spreekt van de kip of het ei -. In deze tekst wordt in lijn
met wat een stemmer en muzikant aanvoelt, zoveel als mogelijk gewerkt op
basis van zwevingen - auditief waarneembare reinheid dus -, voor verdere
en soms vernieuwende analyses op het gebied van de structuur van
temperamenten.
Om volledig en goed onderbouwd te zijn, bevat de tekst soms uitgewerkte en narekenbare natuurkundige en mathematische benaderingen. Deze berekeningen mogen bij een lezing gerust overgeslagen worden : begrip van deze analyses is niet vereist om de tekst zinvol en verstaanbaar te kunnen lezen ; voor een vlotte en goede lezing volstaat het om de juistheid van de berekeningen te geloven en te aanvaarden.
Ondanks alle in dit werkje soms verregaand besproken rationele elementen, blijft het zó, dat muziek een kunst is, een kunst door het oor en voor het oor, op een bedje van menselijke emoties en artistieke vrijheid.
Muziek is een geordende vorm van geluid, en omvat meestal een ritmische opeenvolging van gestructureerde en in de tijd gespreide klanken.
Leopold II, (1835-1909) ; Belgische koning : “Muziek is een geluid dat veel kost” [ 1 ]
Een waarneembaar geluid komt tot stand door trillingen in de lucht, die zich in de omgeving voortplanten met een snelheid van circa 340 meter per seconde ; dit is de snelheid van het geluid.
Muzikale klanken komen tot stand door het trillen van
fysieke elementen, waarbij deze elementen contact hebben met de lucht,
al dan niet via een klankbord, om aldus hun trillingen aan de lucht over
te dragen.
Fysieke elementen kunnen meerdere dimensies of vormen
hebben. Zo heeft men elementen met één dimensie, bijvoorbeeld een snaar
of de luchtkolom van een blaasinstrument. Men kan ook twee dimensies
hebben, bijvoorbeeld een gespannen vel op een pauk of trommel. Drie
dimensies komen ook voor, zoals onder anderen de resonatoren van
H. von Helmholtz (1821-1894) die werden gebruikt voor
onderzoek naar de structuur van klanken, maar zeker gekend zijn de
klokken. Uiteindelijk kan men ook zeer complexe trillende lichamen
hebben, de menselijke zangstem is hiervan het voorbeeld bij uitstek.
Alle hierboven vermelde klanken kunnen van elkaar
verschillen, zelfs al hebben zij eenzelfde toonhoogte ; zij hebben
een bepaald “timbre” of klankkleur. Een specifieke klankkleur volgt uit
een welbepaalde samenstelling van de klank, die altijd een specifieke
som is van afzonderlijke sinusoïdale klanken.
Een klank kan verschillen volgens de kracht waarmee
hij wordt opgewekt ; meestal heeft men meer componenten van hogere
frequentie wanneer de klank met meer kracht wordt opgewekt. Uitstervende
klanken veranderen in de tijd ook van samenstelling ; meestal sterven
componenten met hogere frequentie, sneller uit.
Tegenwoordig kunnen klanken ook elektronisch worden verwekt, anders dan met fysieke elementen. Instrumenten die dit mogelijk maken worden synthesizers genoemd. Bij synthesizers worden de elektronische trillingen overgebracht aan de lucht bij middel van een elektrisch aangestuurd membraan, - een luidspreker -. Synthesizers laten toe om klanken samen te stellen die niet, of maar zeer moeilijk, kunnen voortgebracht worden door fysiek trillende elementen.
SINUSOÏDALE KLANKEN (Terug naar
Inhoud)
Een sinusoïdale trilling is de meest elementaire natuurlijke vorm van trillen ; hij is de basisvorm van trillingen, waarmee alle andere klanken in de natuur kunnen worden samengesteld. Een sinusoïdale trilling kan mathematisch voorgesteld worden door :
Een sinusoïdale trilling kan ook grafisch voorgesteld worden, en dit geeft een beeld van de wijze waarop een deeltje in de tijd over en weer beweegt
Waarbij :
- A : de amplitude van de trilling
- f : de
frequentie van de trilling
- T : de periode van de trilling
- ϕ : de
fase van de trilling (het ogenblik waarop de trilling begint)
- t : de tijd
Meestal komen sinusoïdale trillingen in de natuur voor als gedempte trillingen. Een demping is het gevolg van interne wrijvingen van het trillend lichaam en/of van wrijvingen met zijn omgeving, zelfs al is deze dikwijls niet meer dan wat lucht. Een gedempte sinus kan worden weergegeven als :
Waarbij < σ > de dempingsfactor is, die bepaalt hoe snel de amplitude afneemt in de tijd. Zie ook de figuur hieronder
HET
OPWEKKEN VAN SINUSOÏDALE TRILLINGEN (Terug naar Inhoud)
"Men moet altijd weten waarom ..." (Paul Valéry 1871-1945 [ 2 ] ), "... en hoe" (mijn moeder)
Twee fysieke elementen bij uitstek, naast andere mogelijkheden, kunnen leiden tot het opwekken van een zuivere sinusoïdale trilling, of een strak gestructureerde som ervan, deze zijn : een gespannen snaar, of een luchtkolom in een luchtpijp.
GESPANNEN
SNAAR (Terug naar Inhoud)
Uit de figuur hieronder kan men de evenwichtstoestand bepalen van een elementair deeltje van een snaar, dat buiten zijn begintoestand werd gebracht.
Element van een gespannen snaar
Het infinitesimaal
snaarsegment AB met < m > als massa per lengte
eenheid, en met een lengte < dx > heeft een massa
< mdx >.
Een infinitesimale kracht < dF1 >
op
dit snaarsegment, ingevolge haar versnelling of vertraging is dus
(kracht = massa maal versnelling) :
Anderzijds moet deze infinitesimale kracht ook gelijk zijn aan het infinitesimaal verschil < dF2 > van de krachten < FA > en < FB >. Dit verschil is evenredig met de lengte < dx > van het infinitesimaal segment AB en met het verschil in helling tussen A en B. Een verschil in helling van een curve is gelijk aan de tweede afgeleide van de curve, - de lijn van de aangeslagen en dus gekromde gespannen snaar -. Men kan aldus stellen :
Gelijkstelling van beide infinitesimale krachten dF1 en dF2 leidt tot :
Dit stelt een lopende golf
voor, met snelheid 
, en heeft als algemene oplossing :
Specifiek, voor een tussen twee punten gespannen snaar met lengte < l0 >, heeft men als mogelijke oplossing :
Bovenstaande formule voor de trilling van een snaar werd reeds door B. Taylor [1715, p. 113-118] uitgewerkt, en stelt een staande sinusgolf voor.
TOONHOOGTE geproduceerd door een snaar (Terug naar Inhoud)
Eigenschappen van de bekomen oplossing. Voor n = 1 bekomt men :
een golflengte
: 
een toonhoogte
: 
Elke gehele waarde van n groter dan één, leidt tot een golflengte die een factor < 1/n > kleiner is, en een frequentie die een factor < n > hoger ligt. Men heeft dus een reeks van mogelijke oplossingen, die een onderling harmonisch verband hebben, wat betreft de muziek.
De uiterste knopen van deze staande golven liggen natuurlijk in de ophangpunten van de snaar.
MONOCHORD (Terug naar Inhoud)
Bij een vaste en gegeven trekkracht op een snaar, ‑ bij een gegeven spanning dus ‑, en volgens de formule hierboven, is de frequentie van de bekomen toon, omgekeerd evenredig met de lengte van de snaar. Ingevolge dit omgekeerd evenredig verband is het mogelijk om op basis van lengteverhoudingen de verhouding tussen toonhoogtes te bepalen. Dit kan bij middel van een monochord.
Het monochord is een meettoestel, volgens de principe tekening hieronder, met één snaar onder constante spanning dank zij een gegeven gewicht, waardoor een gewenst omgekeerd evenredig verband tussen lengte en frequentie verzekerd wordt. De lengte van het trillend gedeelte < AB > van de snaar kan worden ingesteld bij middel van een verschuifbare brug, op positie < B > in onderstaande tekening. Pythagoras heeft zeer waarschijnlijk met het monochord gewerkt.
Men kan voor alle posities Bn van deze monochord stellen :
f1.AB1 = f2.AB2 = … = fn.ABn = constant
DE VIOOL “Koningin Elisabethwedstrijd”
De viool zal vermoedelijk wel zowat het belangrijkste snaarinstrument zijn.
Eugène Ysaÿe, viool leraar van
koningin Elisabeth (1876-1965), zou in antwoord op een delicate vraag,
van haar ooit gezegd hebben : “Elle joue comme une reine”,
‑ “Ze speelt als een koningin” ‑ ?
LUCHTKOLOM (Terug naar Inhoud)
De figuur hieronder toont een infinitesimaal luchtschijfje in een luchtkolom vóór en na een kort tijdstip gelijk aan < dt >.
Element van een luchtkolom
Ingevolge de inertie van het luchtschijfje, ondergaat dit naast de drukkracht < S.dp > de volgende versnellingskracht :
zodat
Ingevolge de druk in de buis en de algemene gaswet waarbij PV = constant, kan men stellen :
waaruit
waaruit
Na differentiatie naar < x > bekomt men
Het gelijk stellen van de twee formules voor δp/δx geeft :
De bovenstaande formule werd reeds uitgewerkt door
Rayleigh (1877, p. 188 - 191). Deze gelijkheid staat opnieuw
voor een golfvergelijking, en voor een eindige buis kan men dezelfde
oplossing vooropstellen, gelijk aan deze bij een snaar met een staande
golf. Bij een eindige buis kan men op het uiteinde van de buis zowel een
knoop als een buik hebben, al naar gelang de buis afgesloten of open is.
Bij een half open buis heeft men zowel een buik als een knoop, en de
grootst mogelijke golflengte is dan gelijk aan vier maal de lengte van
de buis.
Ingevolge de algemene gaswet, geldt de bovenstaande
vergelijking ook voor de druk, de gasdichtheid en zelfs de temperatuur.
Men kan dus ook spreken van een druk-, dichtheids- en temperatuurgolf.
SAMENGESTELDE KLANKEN. (Terug naar Inhoud)
Elke trilling, - elke klank ; timbre ; klankkleur -,
kan samengesteld worden uit een som van sinusoïdale trillingen.
Deze samenstelling kan zeer geordend zijn,
bijvoorbeeld doordat de frequenties van de verschillende sinussen een
geheel veelvoud zijn van elkaar, maar kan ook tot in een uiterste mate
ongeordend zijn, ingevolge een willekeurige samenstelling van
amplitudes, frequenties en fases.
Een door ieder gekende extreme vorm van ongeordende
klank is ruis ; deze omvat een zeer brede reeks van talloze sinusoïdale
componenten. Men spreekt van witte ruis, indien gans het hoorbaar
spectrum continu sinusoïdale componenten omvat, met een gelijke
amplitude voor alle componenten. Men kan een zeer goede benadering van
witte ruis horen bij een niet goed afgestemde analoge FM-radio- of
TV-ontvanger ; bij digitale telecommunicatie is er ook ruis, maar
deze is ingevolge de digitale modulatie- en demodulatietechnieken niet
meer waarneembaar.
HARMONISCHE KLANKEN. (Terug naar Inhoud)
“… voor een nauwkeurigere behandeling van de harmonie is het belangrijk om elk interval te kennen naar zijn ware naam en in zijn eigenlijke verhouding…” [Kirnberger 1771, p. 21].
Per definitie is een harmonische klank, een klank opgebouwd uit een
reeks van sinussen die allen een frequentie hebben die nagenoeg gelijk
is aan een geheel veelvoud van een basisfrequentie, zoals men
bijvoorbeeld heeft bij de klank van een snaar of een blaasinstrument, -
een luchtkolom -.
De sinus met basisfrequentie f1
krijgt de naam “grondharmonische” of ook grondtoon, en de volgende
sinussen met frequentie fn ,
gelijk aan n x f1 , met
< n > een geheel getal, worden de “n-de harmonische” of
ook boventonen genoemd.
Mathematisch
kan
dit voorgesteld worden als :
of ook
Élke periodieke klank < F(t) > is samengesteld uit harmonischen. Dit werd mathematisch aangetoond door J. Fourier (1768-1830). De sinusoïdale componenten van een klank kunnen uit de golfvorm berekend worden door toepassing van een Fourier analyse, bij middel van :
en
Indien de periodiciteit van F(t) niet gekend is, dan kunnen de bovenstaande integralen in functie van de gewenste precisie uitgewerkt worden over een voldoend grote tijd, - een voldoend groot aantal periodes -.
GRAFISCHE EN SPECTRALE VERGELIJKING (Terug naar Inhoud)
Er bestaat een enorme diversiteit aan klanken, met specifieke klankkleur of timbre ; dit correspondeert dus met een grote diversiteit aan mogelijke golfvormen. Bij wijze van voorbeeld wordt hieronder de golfvorm van een lage noot van een piano voorgesteld (B0 ; Bruckner buffetpiano) en van een kerkorgel (de lage langgerekte D1, uit de Toccata en Fuga in D-klein, BWV 565 van J. S. Bach).
Golfvorm van de laagste “Si” van een Bruckner buffetpiano
Golfvorm van de laagste “Re” van een kerkorgel
Beide klanken verschillen
sterk, ook visueel qua golfvorm. Bij het orgel is de periodiciteit
visueel gemakkelijker waarneembaar.
Het verschil valt ook duidelijk op, bij de
beschouwing van de spectrale samenstelling, bekomen door berekening van
de Fourier integralen over meer dan 50 perioden
.
Frequentiespectrum van de laagste “Si” van een Bruckner buffetpiano
Frequentiespectrum van de laagste “Re” van een kerkorgel
De spectrale analyses tonen duidelijk de rijkdom van de
klanken aan : men kan tot meer dan 30 harmonischen waarnemen,
Analyse van de frequenties van harmonischen toont aan
dat de hogere harmonischen van de piano steeds verder naar boven
afwijken van de theoretisch verwachte waarde. Bij het orgel daarentegen
blijft men redelijk nauw bij de theoretische waarden aansluiten ;
bovendien nemen ze minder snel in amplitude af. Op basis van de criteria
frequentie en amplitude blijkt het orgel een beter gevulde en reinere
klank (-kleur) te hebben.
HARMONISCHE AFWIJKINGEN (Terug naar Inhoud)
Indien de frequenties van de harmonischen afwijken van
een geheel veelvoud van de frequentie van de grondtoon, dan worden deze
componenten van het spectrum eerder benoemd als “partiëlen”, en niet
meer als “harmonischen”.
Afwijkingen van de theoretische harmonische indeling
voor de hogere partiëlen, leidt bij het auditief stemmen van een piano
bij voorbeeld, tot afwijkingen van de theoretische waarde van de
grondharmonische van een klank. De oorzaak waarom snaren afwijken van
het ideaal theoretisch model, is dat het ideaal mathematisch berekend
model beantwoordt aan : perfecte ophangpunten en homogeniteit, en
een gebrek aan stijfheid en interne wrijving van de snaren. De hogere
partielen liggen gewoonlijk hoger dan verwacht.
De inharmoniciteit van een snaar kan benaderend
berekend worden op basis van een differentiaalvergelijking van de vierde
orde, en overtreft zeer snel een factor 1,001, wat overeenkomt met 1,7
cent (cents : zie verder, hieronder), en dit stijgt verder voor
partiëlen van hogere orde. De formule hieronder berekent met goede
benadering de inharmoniciteit (Fletcher H., 1962, vol. 34, p. 749-761).
met 
waarbij E = elasticiteitsmmodulus (Young) en T = spanning
Op basis van de factor < B > in deze formule is het duidelijk, dat een goede harmonische snaar karakteristiek gepaard gaat met een grote lengte, een kleine diameter, en een hoge spanning.
Op de eerste harmonische van een C#3 snaar van een Bruckner buffet piano, kan er volgens een Fourier analyse over meer dan 50 periodes, op de eerste partiële reeds een afwijking van 4 cents vastgesteld worden, en meer op hogere partiëlen ; de G#4 snaar in het middenoctaaf heeft reeds een afwijking van 11 cents op de tweede partiële. Een Fourier ananlyse op een 0,5 sec. lang staal van de A3 snaar van een Hanlet piano levert volgende waarden op voor de zeven eerste partiëlen, ‑ en de zes eerste partiëlen zijn van belang voor het initieel stemmen van de F3‑F4 partitie ‑.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1,00000 | 1,00076 | 1,00171 | 1,00227 | 1,00576 | 1,00630 |
Opdat bij een samenklank van twee klanken enkele
dominante harmonischen die sterker zijn dan de grondharmonische beter
zouden samenvallen, moeten de grondharmonischen van deze twee klanken
noodzakelijk iets lager liggen. Deze afwijkingen in frequentie van de
grondharmonischen werden ooit opgemeten door O. L. Railsback
[1938], zie de gepubliceerde grafiek hieronder.
De verticale schaal geeft de afwijkingen op in cents.
Deze logaritmische eenheid wordt veelvuldig gebruikt in de muziek, bij
metingen van afwijkingen in toonhoogte. Omwille van de logaritmische
eigenschap zijn de verhoudingen van toonhoogtes gemakkelijk te bepalen,
want men kan gemakkelijke optellingen maken, in plaats van ingewikkelde
vermenigvuldigingen, delingen en het trekken van complexe wortels.
Uitrekking van octaven bij een auditief gestemde piano
Één
cent komt overeen met de logaritme van het honderdste deel van een halve
toon - vanwaar de naam -, wat overeenkomt met het 1.200-ste deel van een
octaaf. Mathematisch uitgedrukt :
1
cent komt overeen met de verhouding
Gelijkaardige doch ongebruikelijke alternatieve eenheden zijn :
de < Savart > [(10)(1/1000)=1.00230524…], en de < mil > [2(1/1000)=1.00069339...].
TWEE- en DRIEDIMENSIONALE TRILLICHAMEN (Terug naar Inhoud)
Een mathematische analyse van de spectra van deze
trillichamen, toont aan dat hun spectrum sterk kan afwijken van het
eenvoudig model dat werd vastgesteld bij snaren en luchtpijpen, waar de
harmonischen een frequentie hebben die in principe gelijk is aan een
geheel veelvoud van de frequentie van de grondharmonische.
Ook hier gebruikt men daarom bij voorkeur de term
“partiëlen”, wat betreft de hogere sinusoïdale componenten van de klank.
GELUIDSWAARNEMING DOOR HET OOR (Terug naar Inhoud)
Geluid, muziek, treedt het binnenoor binnen via een gehoorgang (2) en bereik aldus het trommelvlies (4). Vandaar loopt het over hamer (6), aambeeld (7) en stijgbeugel (8), tot bij het ovaal venster (5) aan de ingang van het slakkenhuis (10).
Het geluid loopt verder door de opgerolde buis van het
slakkenhuis, dat met vloeistof is gevuld en een basilair membraan bevat
dat de buis over zijn lengte in twee deelt. Beide delen staan met elkaar
in verbinding op het einde van de buis, en het tweede deel eindigt in
een rond venster, terug vooraan in deze buis. De ontrolde lengte van het
slakkenhuis bedraagt ongeveer 35 mm.
Op het basilair membraan staan ongeveer 25.000
"buitenste trilhaartjes" die het ontvangen geluid versterken, en
ongeveer 3.500 "binnenste trilhaartjes". De binnenste trilhaartjes
prikkelen de gehoorzenuw, die de signalen doorgeeft aan de hersenen.
Het basilair membraan is stijf en smal aan de ingang
bij het ovaal venster en wordt elastischer en breder naar de top van het
slakkenhuis. Het trilt mee met het ontvangen geluid ; de hoogste
frequenties aan de zijde van het ovaal venster, de laagste aan de top.
De plaats waar het meetrillen met het inkomend geluid
maximaal is, is dus functie van de frequentie, en ligt van hoog naar
laag over de lengterichting van het basilair membraan verdeeld. Het oor
realiseert aldus een bepaalde frequentie analyse, enigszins
vergelijkbaar met de analyse via een Fourier integraal. Onderstaande
figuur illustreert ruwweg deze frequentieverdeling over dit membraan
[Van de Heyning P., 2019].
Basilair membraan : approximatieve verdeling van frequenties
Het oor is
gevoelig voor frequenties tussen 20 tot 20.000 Hertz, en kan zeer
fijne frequentieverschillen opmerken binnen dit bereik. Toonhoogte
verschillen van 0,5 % zijn waarneembaar voor muzikaal getrainde
waarnemers (Britannica), d. i. dus voor f1/f2 ~ 1,005…, of ook
~ 8 cents ; men spreekt ook dikwijls over een halve komma
(zie verder), ong. 10 cents, dezelfde orde van grootte dus.
De wijze waarop een muzikaal getraind persoon
toonhoogteverschillen zo fijn kan herkennen zonder gebruik van
meetapparatuur, is nog niet volop begrepen. De frequentie selectiviteit
van het basilair membraan en van de trilhaartjes zou niet volstaan om de
selectiviteit van het oor in zijn geheel te verklaren zoals hierboven
verondersteld. De hersenen, "het muzikaal geheugen", en wellicht ook
andere elementen zoals bijvoorbeeld de klankkleur, het geluidsniveau en
dergelijke meer, spelen mogelijk ook een belangrijke rol.
GELUIDSNIVEAU en -FREQUENTIE (Terug naar Inhoud)
Meetbare karakteristieken van het oor op gebied van
geluidsniveau en -frequentie blijken niet lineair te verlopen ;
beiden verlopen eerder quasi logaritmisch.
De werking van het oor is nog steeds het onderwerp
van diepgaand en zeer complex onderzoek. Het oor kan bijvoorbeeld ook
zélf geluid produceren [Kemp D. 1978]. Bij waarneming van twee
verschillende tonen bijvoorbeeld, kunnen er ingevolge de
niet-lineariteit ook fictieve tonen gehoord worden met een frequentie
gelijk aan het verschil van de frequenties (Tartini, 1754, p. 13 [ 3 ]),
misschien ook de som :
“Gegeven twee klanken van welk muziekinstrument dan
ook, die kunnen worden uitgebreid en de klank zo lang als gewenst
wordt versterkt (trompetten, jachthoorns, strijkinstrumenten, hobo,
enz.), hebben we een derde klank ; geproduceerd door de botsing
van twee luchtvolumes die door de twee gegeven geluiden worden
verplaatst.
De manier waarop dit derde geluid wordt geproduceerd, doet er voor de
huidige fysieke behoefte niet toe ; het feit is genoeg, en dit moet
worden uitgelegd.”
Het oor heeft een zeer hoog dynamisch bereik : de verhouding in geluidssterkte tussen de onderste gehoorgrens en het bovenste pijnniveau ligt hoger dan een factor 1/100.000. De gevoeligheid is ook afhankelijk van de frequentie, binnen een band die ligt tussen ongeveer 20 en 20.000 Hertz. Bij het ouder worden vermindert de gevoeligheid van het oor door verzwakking van de buitenste haarcellen. De buitenste haarcellen kunnen ook beschadigd geraken en definitief hun functie verliezen bij blootstelling aan te hoge geluidsintensiteit, wat leidt tot gehoorschade of verzwakking van het gehoor.
De onderliggende figuur geeft een ruwe schets van de
gevoeligheid van het oor bij een normaal volwassen persoon.
De "foon"
lijnen zijn lijnen van gelijke gevoeligheid, en deze lijnen werden
experimenteel bepaald door proeven met een representatieve groep
luisteraars (Fletcher H., 1933). In de figuur zijn foon-lijnen
van gelijke luidheid uitgetekend, in functie van de frequentie, ten
overstaan van het overeenkomend objectief meetbaar geluidsniveau
gemeten in decibel. De figuur toont dat het oor het gevoeligst is rond een
frequentie van ongeveer 3.000 Hz, en dat deze gevoeligheid snel
vermindert naar hogere frequenties, en vooral ook naar lagere
frequenties toe.
De
hieronder weergegeven foon karakteristieken, maken dat de invloed
van de partiëlen bij het stemmen ook afhangt van hun
toonhoogte : partiëlen in het middengebied tussen 300 en 3000
Hz. zullen van grotere invloed zijn dan deze buiten dit gebied. Bij
de berekening van toonhoogtes bij het stemmen, kan men de partiëlen
waar nodig en mogelijk een gewicht toekennen.
Het menselijk oor : foon-lijnen met gelijke gevoeligheid
Bij de frequentie 1.000 Hz wordt de "foon" gelijk gesteld aan de "decibel". Het geluidsniveau in decibel is een objectieve maat voor de door het geluid veroorzaakte drukvariaties. Het geluidsniveau in decibel wordt bekomen door toepassing van de formule hieronder, waarin p0 een genormaliseerde referentie drukvariatie is en p1 de gemeten drukvariatie veroorzaakt door het geluid. De waarde van p0 in de lucht is genormaliseerd op 20 microPascal (20 μP) ; ISO 389-5.
Vb
: - De geluidsdruk (-variatie) bij 80 dB is 10.000
maal sterker dan de geluidsdruk bij 0 dB.
- Een geluidsdruk verhouding gelijk aan 2, komt
overeen met ongeveer 6 dB verschil
Noot
: 1 Pascal = 1 Newton/m2
1
Newton = de kracht op 1 kg massa, versneld aan 1 m/s2
SAMENKLANKEN (Terug naar Inhoud)
ZWEVINGEN (Terug naar Inhoud)
Het tegelijk afspelen van verschillende klanken, ook
van verschillende toonhoogte, - verschillende noten dus -, is een
normale en courante praktijk in de muziek ; het is een belangrijk
integrerend deel ervan. Hierbij wordt er meestal gestreefd naar een
reinheid van de bekomen samenklank : men wenst een goede harmonie,
consonantie, mooie akkoorden dus, en dissonantie is gewoonlijk
ongewenst, tenzij die bedoeld is voor het bekomen van bepaalde affecten.
Een reine samenklank, - goede consonantie -, vereist
dat waarneembare zwevingen tussen klanken niet storend zouden zijn. Een
objectieve maat van welke zwevingen storend zouden zijn, is een complex
onderwerp, dat nog steeds bestudeerd wordt, en waar een eerste mijlpaal
werd gesteld door R. Plomp en W. J. M. Levelt [1965]. Zij maakten
duidelijk dat in functie van de betrokken grondtonen er een onaangenaam
gevoel is vanaf een zekere relatief lage zwevingsfrequentie, om bij
hogere zwevingsfrequenties terug te verdwijnen, waarbij de grondtonen
opnieuw klinken als twee afzonderlijke klanken, of als één “reine”
klank. Voor de eenvoud bij berekeningen, zal er voor de zwevingen
verondersteld worden dat ze voldoende laag moeten zijn in frequentie, en
indien zo, dat bij vergelijking van zwevingen, ze zo klein of zo gelijk
mogelijk in frequentie zouden zijn.
Zwevingen ontstaan door interferentie tussen de
partiëlen, - sinussen dus -, met nagenoeg gelijke frequentie, van de
onderscheiden klanken. Twee sinussen van nagenoeg gelijke frequentie,
kunnen in het oor klinken als één sinus die in amplitude is gemoduleerd,
en dit kan bij bepaalde modulatiefrequenties storend zijn, - dissonant
dus -. De som van twee willekeurige sinussen kan mathematisch uitgewerkt
worden :
=
Deze som van sinussen kan dus gezien worden als één sinus, gekenmerkt door :
een gemiddelde frequentie (fa + fb)/2
een amplitude modulatie van (a-b) tot (a+b), bij een frequentie gelijk aan (fa – fb)
en een fase
modulatie van geringe invloed gelijk aan 
De figuur hieronder illustreert het effect :
INTERVALLEN (Terug naar Inhoud)
Bij het tegelijk spelen van verschillende noten,
mogelijk ook met verschillende klank, zijn er toonafstanden die een
voorkeur genieten, doordat ze voor deze bepaalde toonafstanden een groot
aantal partiëlen hebben met gelijke frequentie.
Deze toonafstanden zijn muzikaal gesproken
< rein >. De belangrijkste reine toonafstanden worden
hieronder besproken. Deze specifieke toonafstanden hebben elk een naam,
die functie is van het aantal noten dat kan geteld worden tussen de
onderste en de bovenste toon. Deze naamgeving wordt later duidelijk, bij
het bespreken van toonladders.
PRIME (Terug naar Inhoud)
De afstand tussen twee tonen met éénzelfde frequentie,
heeft in de muziek de naam < prime >. De prime heeft dus
een verhouding < 1/1 > tussen grondtonen.
Zelfs al zijn er mogelijk verschillen in amplitude,
demping en fase, toch zullen de harmonischen van beide klanken steeds
samenvallen en dus versmelten tot één nieuwe klank.
Bij
afwezigheid van zwevingen spreekt men van een perfect unisono. Zodra
er echter een klein verschil in frequentie optreedt kunnen
harmonischen van de ene klank zweven met nabij liggende harmonischen
van de andere klank. Dit verschijnsel is bijna steeds overduidelijk
waarneembaar. Voor een prime bedraagt de zwevingsfrequentie tussen de
grondtonen f1 en f2 :
Noot : bij negatief verschil heeft men het over “onderzweving” ; bij positief verschil heeft men het over “bovenzweving”.
OCTAAF (Terug naar Inhoud)
Het octaaf is de eerstvolgende toonverhouding dat een
grote samenval van harmonischen omvat, en heeft een verhouding 2/1.
De frequentiespectra van beide klanken zijn hieronder
samen weergegeven. Voor de eenvoud van de tekening en van de
uiteenzetting wordt verondersteld dat alle getekende harmonischen
éénzelfde amplitude hebben.
Alle even harmonischen van f1 vallen samen met alle harmonischen
van f2 : 67% van alle harmonischen
vallen dus samen. Ingevolge deze zeer sterke consonantie, krijgen de
noten die een octaaf verschillen dezelfde naam, indien nodig mits
toevoeging van indices die verwijzen naar het getroffen octaaf.
De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen
de 2-de harmonische van f1 en de grondtoon van f2. De frequentie van deze zweving
bedraagt :
KWINT (Terug naar Inhoud)
De kwint heeft een verhouding 3/2 tussen grondtonen (f2/f1 = 3/2). De frequentiespectra van de klanken staan geschetst in de figuur hieronder.
Alle derde harmonischen van f1 vallen samen met alle even harmonischen van f2 : 40% van alle harmonischen vallen
dus samen.
De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen
de 3-de harmonische van f1 en de 2-de harmonische van f2. De frequentie van deze zweving
bedraagt :
KWART (Terug naar Inhoud)
De kwart heeft een verhouding 4/3 tussen grondtonen (f2/f1 = 4/3). De frequentiespectra van de klanken staan geschetst in de figuur hieronder.
Alle vierde harmonischen van f1 vallen samen met alle derde harmonischen van f2 : 29% van alle harmonischen vallen
dus samen.
De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen
de 4-de harmonische van f1 en de 3-de harmonische van f2. De frequentie van deze zweving
bedraagt :
GROTE TERTS (Terug naar Inhoud)
De grote terts heeft een verhouding 5/4 tussen grondtonen (f2/f1 = 5/4). De frequentiespectra van de klanken staan geschetst in de figuur hieronder.
Alle vijfde harmonischen van f1 vallen samen met alle vierde harmonischen van f2 : 22%
van alle harmonischen vallen dus samen.
De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen
de 5-de harmonische van f1 en de 4-de harmonische van f2. De frequentie van deze zweving
bedraagt :
KLEINE TERTS (Terug naar Inhoud)
De kleine terts heeft een verhouding 6/5 tussen grondtonen (f2/f1 = 6/5). De frequentiespectra van de klanken staan geschetst in de figuur hieronder.
Alle zesde harmonischen van f1 vallen samen met alle vijfde
harmonischen van f2 : 19% van alle harmonischen vallen
dus samen.
De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen
de 6-de harmonische van f1 en de 5-de harmonische van f2. De frequentie van deze zweving
bedraagt :
GROTE SEXT (Terug naar Inhoud)
De grote sext heeft een verhouding 5/3 tussen grondtonen (f2/f1 = 5/3). De frequentiespectra van de klanken staan geschetst in de figuur hieronder.
Alle vijfde harmonischen van f1 vallen samen met alle derde
harmonischen van f2 : 25% van alle harmonischen vallen
dus samen.
De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen
de 5-de harmonische van f1 en de 3-de harmonische van f2. De frequentie van deze zweving
bedraagt :
TRITONUS (Terug naar Inhoud)
In de klassieke notenleer, wordt de tritonus gezien als
een dissonant interval. Dit interval wordt aldus genoemd, omdat het drie
gehele tonen omvat.
Men kan onder
bepaalde voorwaarden een tritonus hebben die toch consonant is, -
bijna rein -. Een "reine” tritonus heeft een toonverhouding 7/5 tussen
grondtonen (f2/f1 = 7/5). Bij afwijking hiervan heeft men de hieronder
opgegeven zweving :
AKKOORDEN ; of meer dan twee noten (Terug naar Inhoud)
Een zeer klassieke combinatie omvat bijvoorbeeld het
samenbrengen van vier klanken met frequentieverhoudingen 1, 5/4, 3/2 en
2/1, maar er zijn nog talloze andere mogelijkheden.
Bij de hier
gestelde combinatie is het alsof er een nieuwe klank ontstaat met
grondfrequentie gelijk aan f1/4,
maar waarvan een aantal harmonischen ontbreken: zoals de grondtoon
zelf, en de harmonischen met rang 2, 3, 7, 9, 11, 13, 14, 17, 19, 21,
22, 23 ….
Zie de figuur hieronder: alle bestaande
harmonischen vallen steeds samen met een verdeling of
tussenverdelingen op f1, representatief voor de harmonischen op f1/4.
Het is meestal niet eenvoudig of evident om de samenklank van muzikale
akkoorden rationeel te verduidelijken en te verklaren, zoals gedaan in
dit voorbeeld.
Het is zelfs mogelijk dat bepaalde klanken mooi
samenklinken op bepaalde muziekinstrumenten, en op andere dan weer niet,
afhankelijk van de harmonische structuur van de klank van het
instrument.
De klassieke muziekleer bestudeert zeer grondig de
harmonie van akkoorden, en de "Harmonieleer" is voor klassieke muziek
een uitzonderlijk belangrijk vak.
TOONLADDERS (Terug naar Inhoud)
MELODIE EN HARMONIE (Terug naar Inhoud)
Melodie betreft klanken die mooi op elkaar volgen.
Harmonie betreft klanken die mooi samen klinken.
Het < mooi > zijn betekent meestal dat er geen of
slechts onbeduidende zwevingen zijn, zoals bij de hierboven beschreven
intervallen werd besproken. Op basis van een mooie samenklank, zowel
melodisch als harmonisch, werden toonladders uitgewerkt.
NOTEN (Terug naar Inhoud)
Het is mogelijk om bij
middel van de besproken intervallen standaard reeksen van klanken op te
bouwen. Een dergelijke reeks wordt een “toonladder” genoemd ; de
individuele klanken in een dergelijke reeks worden dan “noten” genoemd.
Een eerste mogelijke reeks betreft een opeenvolging van octaven, zowel
naar boven als naar onder. Alle aldus bekomen noten krijgen eenzelfde
naam, maar het aantal aldus bekomen noten is echter onvoldoende voor de
muziek. Bruikbare toonladders omvatten daarom ook kwinten, maar ook met
behulp van andere intervallen kunnen toonladders gebouwd worden. De
noten krijgen dan verschillende namen.
In de westerse muziek heeft men zeven noten.
De moderne naamgeving van noten komt van G. Arezzo (991-1033) op basis
van de reeks ut, re, mi, fa, sol, la, uit het lied :
| Ut queant laxis Resonare fibris Mira gestorum Famuli tuorum Solve polluti Labii reatum, Sancte Iohannes |
Mogen uw dienaren met zachte stem uw wonderdaden doen klinken ; Verlos onze bezoedelde lippen van schuld, heilige Johannes. |
Sterk ondersteunend voor de diatonische toonladder is het kinderliedje “Broeder Jacob”, oorspronkelijke in het Frans “Frère Jacques”, dat ook in andere talen populair is (zie internet, met trefwooorden “broeder” en “Jacob”).
Broeder Jacob, slaapt jij nog ?
Do re mi do, mi fa sol
Hoort de klokken luiden, bim, bam, bom.
Sol la sol fa mi do, do sol do.
Later werd de si als zevende noot toegevoegd (i.p.v. Sa). De si wordt soms vervangen door ti, om geen twee noten te hebben die met een letter < S > beginnen. De ut werd vervangen door do, op grond van gemakkelijker klankvorming. Eerste sporen van naamverandering van ut naar do zijn terug te vinden in geschriften van G. M. Bononcini [17-de eeuw].
Recent ook heeft men het Do-Re-Mi lied uit de film “The Sound of Music” (1965).
Doe : a deer, a female deer (do)
Ray : a drop of
golden sun(re)
Me : a name I
call myself (mi)
Far : a long,
long way to run )fa)
Sew : a needle
pulling thread (sol)
La : a note to
follow so (la)
Tea : a drink
with jam and bread (si, ti)
De naam van een noot in een tekst kan voluit geschreven zijn, of vermeld bij middel van een symbool, meestal een letter. De naamgeving bij middel van een symbool kan verschillen volgens de taal of het land. In deze tekst wordt meestal de naamgeving gebruikt, die in de Angelsaksische landen of internationaal het meest gebruikelijk is, en waaraan indien zinvol, een octaafnummer kan worden toegevoegd.
| do | re | mi | fa | sol | la | si |
| C | D | E | F | G | A | B |
Voor gewijzigde noten kan er in geschreven teksten aan de noot een symbool < # > (kruis) worden achtergevoegd voor een verhoging, of < b > (mol) voor een verlaging. Er bestaat een belangrijk verschil met het Duits taalgebied, waar de letter < b > staat voor de < verlaagde si > , en de letter < h > voor de “natuurlijke” noot < si >. Soms wordt binnen geschreven teksten het achtervoegsel < is > bij de letter toegevoegd, voor een verhoging, en < es > voor een verlaging.
TOONHOOGTES (Terug naar Inhoud)
Toonhoogtes worden gemeten in Hertz, afgekort Hz., waarbij één Hz. overeenkomt met één trilling per seconde.
Dat een toon een trillingsverschijnsel van de lucht is, met een wel te
bepalen objectief meetbare frequentie, werd aangetoond door R. Hooke
(1635-1703), door het produceren van een toon bij middel van een
gekarteld wiel, ‑ een wiel met insnijdingen aan de rand ‑,
dat aan een meetbare en dus gekende snelheid wordt gedraaid. Pas veel
later herhaalde F. Savart (1791-1841) een zelfde experiment, bij
middel van wat gekend is als “het wiel van Savart”. Het meten van
toonhoogtes is dus pas redelijk recent mogelijk geworden.
De toonhoogte van de noot < C >
wordt historisch geassocieerd met de toon die voortgebracht wordt door
een orgelpijp met een lengte van één voet. Hierdoor kan deze toonhoogte
van streek tot streek verschillen, wegens verschillen in lengtes van de
voet, of van maten in het algemeen. Bovendien verandert de toonhoogte
met de temperatuur en de druk van de lucht. De toonhoogte van de C noot
zou vandaag ongeveer 281 Hz zijn, op basis van de moderne
gestandaardiseerde duim (één duim = 25,4 mm). De aan deze C noot
gepaarde A noot, zou op basis van een reine, normale <
C‑A > interval-verhouding (5/3 ; een grote sext)
ongeveer gelijk zijn aan 469 Hz.
De toonhoogte van de
< la > noot, < A > dus, is tegenwoordig
standaard vastgelegd op de waarde 440 Hz [Londen, 1939, 1955 ;
ISO 16, 1975].
De noot A, op 440 Hz, ligt bij een moderne piano in
het vierde octaaf. Indien het rangnummer van de laagste A op een piano
gelijk aan nul wordt verondersteld, dan wordt de A op 440 Hz benoemd als
A4 . Alle andere noten van C tot B binnen het A4 octaaf
krijgen dan op dezelfde wijze een rangnummer 4 . In
Frankrijk worden de octaven één eenheid lager geteld ; men kan dus
stellen : A4 (internationaal) = La3 (Frankrijk).
Er zijn ooit meerdere andere toonhoogtes als stemvork
gangbaar geweest, ook op andere noten, zoals hierboven besproken
bijvoorbeeld de noot < C >. De mogelijke toonhoogtes
lagen ooit redelijk ver uiteen, van hoog rond 480 Hz (chorton, Duitse
barok), tot laag rond 392 Hz (Franse barok), en 415 Hz wordt nog
altijd redelijk frequent gebruikt door clavecinisten of voor
barokmuziek.
PENTATONIEK (Terug naar Inhoud)
Men kan een reeks
opeenvolgende kwinten bouwen, waarbij men de toonhoogte dus steeds met
een factor 3/2 verhoogt of verlaagt. Men kan de reeks beperken tot 5
noten, waarbij men dan de collectie noten uitbreidt door op deze noten
octaven te bouwen.
Men kan veel variante reeksen opbouwen. Onderstaande
tabel geeft een mogelijke reeks, teruggebracht tot één octaaf, en dat
goed aansluit bij de moderne westerse toonladders :
| Noot | C | D | F | G | A |
| Verhouding | 1 | 32 / 23 | 22 / 3 | 3 / 2 | 33 / 24 |
| Verhouding | 1 | 1,125 | 1,333... | 1,5 | 1,6875 |
| Toonhoogte | 260,74 | 293,33 | 347,65 | 391,11 | 440,00 |
Merk de stijgende machten van 3 op, in de volgorde F(-1), C(0), G(1), D(2), A(3), het is alsof de volledige reeks F-C-G-D-A vanuit F naar boven toe is opgebouwd.
DIATONISCHE TOONLADDER (Pythagoras, ca. 582 v.C. – 500 v.C.) (Terug naar Inhoud)
De pentatonische toonladder kan naar boven toe verder uitgebreid worden tot zeven noten. Men bekomt de verhoudingen volgens de tabel hieronder.
| Noot | C | D | E | F | G | A | B | C |
| Verhouding | 1 | 32 / 23 | 34 / 26 | 22 / 3 | 3 / 2 | 33 / 24 | 33 / 27 | 2 |
| Toonhoogte | 260,74 | 293,33 | 330,00 | 347,65 | 391,11 | 440,00 | 463,54 | 521,48 |
| Interval | Prime | Seconde | Terts | Kwart | Kwint | Sext | Septiem | Octaaf |
Ook hier verandert de macht van 3 steeds met een stap gelijk aan < één >, bij een lezing in de volgorde F-C-G-D-A-E-B. Deze volgorde heeft een muzikaal belang, bij het bepalen van de tonaliteit van een muziekstuk ; dit wordt verder nog verduidelijkt. De toegevoegde noten laten ook toe een alternatieve pentatonische toonladder op te bouwen : C-D-E-G-A.
INTERVALLEN (Terug naar Inhoud)
In bovenstaande tabel staan een aantal intervallen
onder hun naam opgegeven. Zoals reeds besproken, kunnen intervallen rein
zijn, maar binnen deze toonladder zijn alleen maar de kwinten en kwarten
rein.
Een interval kan worden benoemd op basis van een
rangnummer ten overstaan van de onderste noot ; als voorbeeld in deze
tabel is de C-noot de onderste noot voor alle opgegeven intervallen,
maar een interval kan ook gebouwd en dus benoemd worden ten overstaan
van eender welke noot.
Nieuw binnen deze tabel, zijn de seconde en de
septiem. Op te merken valt dat er per interval verschillende toonhoogte
verhoudingen mogelijk zijn.
Zo heeft men voor de terts twee verschillende
waarden : de grote terts C-E bijvoorbeeld, met een verhouding 81/64
(i.p.v. 5/4 ; = 1,265), en de kleine terts E-G, met een verhouding
32/27 (i.p.v. 6/5 ; 1,185). De tertsen zijn hier bovendien dus ook niet
rein.
Het verschil binnen deze toonladder, tussen de grote
terts en de reine grote terts wordt de “syntonische komma” genoemd, en
de verhouding ervan bedraagt
(81/64) / (5/4) = 81/80 = 1,0125.
Zo heeft men
ook voor de seconde twee verschillende waarden : een verhouding
9/8 voor C-D, D-E, F-G, G-A en A-B, en een verhouding 28/35 (1,0535…) voor E-F en B-C.
Een interval kan ook benoemd worden in functie van zijn grootte, dit is, in functie van de toonhoogte verhouding tussen een bovenste en een onderste noot. Men heeft aldus een hele toon, bijvoorbeeld tussen de bovenvermelde C-D, D-E, F-G, G-A, A-B en een halve toon tussen E-F en B-C. De termen < hele toon > en < halve toon > dekken approximatieve waarden van toonhoogte verhoudingen, deze termen mogen niet mathematisch exact worden geïnterpreteerd.
DIATONISCHE EIGENSCHAPPEN (Terug naar Inhoud)
Een diatonische toonladder heeft de specifieke eigenschap opgebouwd te zijn met een opeenvolging van twee hele tonen, gevolgd door een halve toon, verder gevolgd door drie hele tonen, om af te sluiten met een halve toon. Deze volgorde van hele en halve tonen, wordt benoemd als "Majeur Toonladder", of ook als "Grote Terts Toonladder".
De hierboven vermelde reeks opeenvolgende noten < C-D-E-F-G-A-B-C > is effectief diatonisch. In de tabel hierboven spreekt men van de “diatonische toonladder in C-groot”, omdat hij begint met een grote terts C-E op de beginnoot C.
Men kan de bovenstaande reeks noten ook lezen en verder zetten vanaf de noot A, met behoud van de hierboven tussen noten vastgestelde toonafstanden. Dergeljke toonladder is een "Mineur Toonladder", of ook een "Kleine Terts Toonladder". Men bekomt aldus de reeks < A-B-C-D-E-F-G-A>. Gelezen vanaf de noot A, hebben we dus een verschillende volgorde van hele en halve tonen. Ook deze reeks is van belang in de muziek, men noemt ze de “diatonische toonladder in A-klein” omdat ze op de beginnoot A een kleine terts A-C heeft.
CHROMATISCHE TOONLADDER (Terug naar Inhoud)
Verdere uitbreiding met kwinten naar boven toe, leidt tot de noten F#, C#, G#, en naar onder toe tot de noten Bb, Eb, Ab De bekomen verhoudingen zijn gemakkelijk na te rekenen.
| Noot | Bb | Eb | Ab | G# | C# | F# |
| Verhouding | 24 / 32 | 25 / 33 | 27 / 34 | 38 / 212 | 37 / 211 | 36 / 29 |
| Toonhoogtes | 463,54 | 309,03 | 412,03 | 417,66 | 278,44 | 371,25 |
| Decimaal | 0,777... | 1,185... | 1,580... | 1,601... | 1,067... | 1,898... |
De noten G# en Ab
hebben nagenoeg dezelfde verhouding, ; het verschil in hun
verhoudingen wordt de “pythagoreïsche komma” genoemd en bedraagt 312/219 = 1,01364… . Noten
die nagenoeg dezelfde toonhoogte hebben, zodanig dat ze muzikaal
eventueel omwisselbaar zijn, zijn “enharmonisch” : in deze tabel
zijn Ab en G#
enharmonisch.
Het verschil tussen de pythagoreïsche komma en de
syntonische komma, wordt op zijn beurt als “schismatische komma”
benoemd, en bedraagt 5.38/215 = 1,00113…
De syntonische komma is in de muziektheorie belangrijker dan de
pythagoreïsche : de reine en de pythagoreïsche grote terts die
een syntonische komma verschillen kunnen beide samen voorkomen in een
toonladder, terwijl twaalf opeenvolgende reine kwinten vereist zijn om
een pythagoreïsche komma te kunnen ervaren, en dit komt alleen voor in
klavierinstrumenten die over het geheel pythagoreïsch gestemd zijn,
wat haast niet meer voorkomt, maar wel met orgels het geval geweest is
tot in de middeleeuwen.
Deze toonladder heeft twee soorten halve
tonen : natuurlijke halve tonen, die noten met een verschillende
naam omvatten, zoals bijvoorbeeld C#-D,
D-Eb, E-F, enz…,
en de chromatische halve tonen, zoals C-C#,
Eb-E, enz…, die gelijknamige noten omvatten,
De natuurlijke halve tonen hebben een
toonhoogteverhouding 28/35 = 1,0535
, dicht bij de verhouding van 4 opeenvolgende pythagoreïsche komma’s.
(1,01364…)4 = 1,05570… ≈ 1,0535
De chromatische halve tonen hebben een toonhoogteverhouding 37/211 = 1,06787 , dicht bij de verhouding van 5 opeenvolgende pythagoreïsche komma’s.
(1,01364…)5 = 1,07010… ≈ 1,06787
Een hele toon komt bijgevolg overeen met ongeveer negen komma’s. In zijn geheel heeft deze toonladder daarom 53 komma’s. Deze chromatische toonladder, met het hier gedefinieerde totaal aan 53 komma's voor hele en halve tonen, vormt de basis van de "klassieke" notenleer.
Met deze chromatische toonladder wordt het mogelijk om allerhande nieuwe pentatonische toonladders te gebruiken, een op piano gemakkelijk te spelen alternatief is de toonladder F#-G#-Bb-C#-Eb door alleen maar de “zwarte”toetsen te spelen. Verder kan men ook op andere noten dan C of A, een diatonische toonladder bouwen. Deze varianten worden dan genoemd naar de eerste noot van de ladder ; bijvoorbeeld de “diatonische toonladder in < D-groot >, die reeks noten < D-E-F#-G-A-B-C# > omvat ; dit kan ook op enige andere noot ; let op de ongewijzigde volgorde van hele en halve tonen, indien gelezen vanaf de noot D.
Het klein verschil tussen G# en Ab heeft er toe geleid, dat men zich de noten kan voorstellen in de volgorde waarin ze zijn ontstaan, alsof ze een sluitende cirkel vormen waarbij G# bij Ab aansluit, om van daar uit opnieuw dezelfde reeks af te lopen : de kwintencirkel. Deze cirkel bevat aldus twaalf noten, zoals ook een klassiek muziekklavier twaalf toetsen per octaaf heeft, waarbij de octaven aan elkaar aansluiten.
Op de kwintencirkel kan men bij middel van koorden ook de tertsen aanduiden en hij wordt dikwijls gebruikt om besproken muzikale karakteristieken beeldmatig voor te stellen, door deze te merken of te illustreren op de bogen van de kwinten, of de koorden van de tertsen.
Kwintencirkel
Men kan de chromatische toonladder ook verder uitbreiden naar boven en onder toe, met dubbele kruisen < ## >, en dubbele mol < bb >. Men kan de noten dan bijvoorbeeld voorstellen op een kwintenspiraal, waarop er door lichte verschuivingen mogelijk ook rekening kan worden gehouden met de pythagoreïsche komma. Let in de figuur ook op de ligging van enharmonische noten ; bovenaan bijvoorbeeld de noten , A, Bbb, G##.
Kwinten-”spiraal”
In principe zou
men steeds verder kunnen gaan tot meerdere wijzigingstekens. Er kan
nagerekend worden dat men opnieuw een quasi sluitende cirkel bekomt
voor 24 noten (met een komma = 324/238=1,0275…), en veel beter nog voor 53 noten (met een zeer
kleine komma =353/284=1,00209...).
Er volgen nog veel stappen waarbij men een goede sluiting van de
cirkel bekomt, maar de eerstvolgende stap die nóg beter is dan 53
opeenvolgende kwinten, ligt bij zo maar eventjes 306 opeenvolgende
kwinten (met een komma =3306/2485=0,99898…,
omgekeerd is dit ook =1,00102… ; dit komt overeen met 1,8
cent) ; dit overstijgt het onderscheidend vermogen van het
muzikaal geschoold menselijk oor.
In de praktijk worden twee of meer wijzigingstekens
op één noot zelden of nooit gebruik. Dit belet niet dat er klassieke
westerse muziek wordt gecomponeerd met andere of méér noten dan deze
die hier zijn opgegeven. Men heeft muziek met kwartnoten, een andere
tonale indeling, en zelfs ook microtonale muziek.
NATUURLIJK HARMONISCHE TOONLADDER (Terug naar Inhoud)
Buiten de kwint
en haar omgekeerde, de kwart, zijn ook andere reine intervallen
belangrijk, voornamelijk de tertsen. De natuurlijk harmonische
toonladder wordt opgebouwd bij middel van reine kwinten, kwarten, en
reine grote en kleine tertsen.
De belangrijkste bronnen betreffende deze
toonladder, gaan terug tot Aristoxenos, 4-de eeuw v.C., Ptolemaeus, 90-168 n.C., en
Zarlino, 1517 – 1590.
Men kan de reine kwinten en grote en kleine tertsen
overzichtelijk en systematisch in een schema voorstellen, zoals in de
figuur hieronder.
Natuurlijk harmonische toonladder : “Tonnetz”-structuur
Kwinten : zie horizontale
pijlen
Grote tertsen : zie vertikale pijlen
Kleine tertsen : zie schuine pijlen
Deze toonladder heeft een zeer strakke structuur,
opgebouwd met < onvervormbare > driehoeken, net zoals
driehoeken met vaste zijden ook in de geometrie strak onvervormbaar
zijn.
De bovenstaande figuur is geïnspireerd op het
< Tonnetz > concept voor toonladders, volgens figuur
hieronder [Euler 1739, p. 147].
Euler : Tonnetz
Een uitbreiding naar dubbele wijzigingstekens is desgewenst mogelijk. Het kan bijvoorbeeld ook zo getekend en opgevat worden, dat de noten cyclisch herhaald worden op een toroïde [D. Gerhard, H. Hu, 2019, fig. 10].
Toroïde met natuurlijk harmonische structuur
Naast al de hierboven geïllustreerde reine intervallen, bevat de diatonische toonladder op C twee opvallende intervallen ; een kwint < D-A > en kleine terts < D-F > die niet rein zijn. Deze wijken een syntonische komma af van het rein interval. Dit heeft als gevolg dat de intonatie tijdens de uitvoering van een muziekstuk lichtjes in toonhoogte kan stijgen of dalen, indien deze intervallen voorkomen in een melodie, waarbij deze intervallen tóch rein worden gespeeld.
| C |
2 / 1 |
De nevenstaande tabel overloopt de toonverhoudingen, van onder tot boven gerangschikt van laag naar hoog Bij vergelijk van de waarden in deze tabel met deze van de pythagoreïsche toonladder stelt men vast :
Een gepaste waarde van de halftonen is zeer belangrijk voor de klassieke zang. De kleinere chromatische halftonen binnen deze toonladder hebben een sterke uitdrukkingskracht, en het belang hiervan wordt zeer uitgebreid en sterk benadrukt en besproken door Kelletat [1994]. |
| B |
15 / 8 |
|
| Bb | 16 / 9 |
|
| A# |
225 / 128 |
|
| A |
5 / 3 |
|
| Ab | 8 / 5 |
|
| G# |
25 / 16 |
|
| G |
3 / 2 |
|
| Gb | 74 / 45 |
|
| F# |
45 / 32 |
|
| F |
4 / 3 |
|
| E |
5 / 4 |
|
| E b | 6 / 5 |
|
| D# |
75 / 64 |
|
| D |
9 / 8 |
|
| Db | 16 / 15 |
|
| C# |
25 / 24 |
|
| C |
1 |
TOONAARDEN (Terug naar Inhoud)
De gewijzigde noten, uitgewerkt zoals hierboven, of in lijn met Pythagoras door opeenvolgende vermenigvuldigingen of delingen door 3/2, zijn muzikaal van belang. Ook de gewijzigde noten moeten op een notenbalk kunnen genoteerd worden, voor uitvoering in de muziekpraktijk.
Indien de wijziging op een noot slechts sporadisch voorkomt, dan wordt
het wijzigingsteken #, of b op de notenbalk rechtstreeks vóór de noot genoteerd. Aldus
genoteerde wijzigingen blijven alleen geldig in de maat waarin ze
genoteerd staan, en dit over alle gelijke en volgende noten van die
maat.
"Gewijzigde" noten worden op dezelfde lijn als de
oorspronkelijke noten genoteerd, maar om permanente wijzigingen
duidelijk te maken en niet bij elke noot te moeten herhalen, kunnen de
wijzigingstekens vooraan op de notenbalk worden genoteerd. De aldus
genoteerde voortekens zijn bepalend voor de toonaard van een
muziekstuk. Indien in een notenbalk met voortekens toch terug een
ongewijzigde noot gewenst wordt, dan wordt dit aangeduid met een
herstelteken < 
>. De volgorde waarin de kruisen of mollen ontstaan
volgens opeenvolgende kwinten, is ook de volgorde waarbinnen ze
afhankelijk van de toonaard als wijzigingsteken op een notenbalk
worden aangebracht, volgens de figuren hieronder.
|
|
|
De reeds aangehaalde natuurlijke diatonische toonladder in C-groot, zoals voorgestgeld bij de pythagoreïsche en natuurlijk harmonische toonladder, bevat alleen maar ongewijzigde < natuurlijke > noten. Er kan worden nagegaan dat al deze noten bij elkaar aansluiten op een halve cirkelboog van de kwintencirkel (zie figuur). Andere toonaarden liggen ook in een halve cirkelboog op deze cirkel, maar weliswaar op de cirkel over een hoek verschoven. Hoe meer kwinten men verschuift, hoe meer voortekens men krijgt.
Veranderingen van toonaard tijdens de uitvoering van een muziekstuk komen veel voor ; men spreekt dan over het moduleren, en deze techniek kan allerhande affecten ondersteunen. De toegevoegde gewijzigde noten zijn daarom even belangrijk als de oorspronkelijke zeven. Hieronder een overzicht van toonaarden, en de overeenkomende voortekens.
|
Geen - of - |
C (*) |
a (*) |
|
||
| # |
G (*) |
e (*) |
b |
F(*) |
d (*) |
| ## |
D (*) |
b (*) |
bb | Bb (*) |
g (*) |
| ### |
A (*) |
f# (*) | bbb |
Eb (*) |
c (*) |
| #### |
E (*) |
c# (*) |
bbbb |
Ab (*) |
f (*) |
| ##### |
B (*) |
g# (*) |
bbbbb |
Db (*) |
bb (*) |
| ###### |
F# (*) |
d# (*) |
bbbbbb |
Gb (*) |
eb (*) |
| ####### | C# (*) |
a# |
bbbbbbb |
Cb (*) |
ab (*) |
Hoofdletters : grote terts toonaarden
kleine
letters : kleine terts toonaarden
(*)
: Alle toonaarden gemerkt met (*) , werden gebruikt in "Das
Wohltemperierte Klavier" van J. S. Bach.
Men kan muziek hebben, die niet steunt op de structuur van een diatonische toonladder, en die alle twaalf noten gelijk behandelt. Men heeft bijvoorbeeld atonale muziek, dodecafonie, en ook microtonale muziek, niet-westerse muziek, enz…
TEMPERAMENTEN (Terug naar Inhoud)
De tot nog toe besproken toonladders bevatten allemaal
onreine intervallen, die een rem zijn voor kwalitatieve en brede
modulaties van toonaarden. Dit heeft geleid tot het temperen van
intervallen, waarbij onreinheden over meerdere intervallen gespreid
worden en dus minder opvallen, of zelfs acceptabel worden.
Tijdens de late-barok is de belangstelling voor de
toepassing van reine tertsen sterk gegroeid, gepaard aan een zoektocht
naar globale en optimale reinheid binnen een diatonische toonladder,
voornamelijk deze op C-groot. Er werden toen talloze toonladders
voorgesteld, - temperamenten dus -. Men kan de pythagoreïsche en de
harmonische toonladders zien als hun voorlopers of prototypes.
In beschikbare historische beschrijvingen van
temperamenten, worden toonverhoudingen dikwijls precies beschreven,
meestal in breuken, later ook in cents, maar de wijze waarop een
beschreven temperament werd bekomen wordt dikwijls niet vermeld.
Mogelijk gebeurde de verdeling van de onreinheden dikwijls auditief ?
Het goed stemmen van een instrument gebeurt in
principe op het oor : het is het oor dat auditief oordeelt of een
samenklank aanvaardbaar is of niet. De aldus auditief bekomen
temperamenten kunnen na het stemmen worden geanalyseerd, zodat men er
karakteristieke eigenschappen kan aan toekennen, opdat ze zouden kunnen
beschreven en gerepliceerd worden. Historisch gezien steunen het
overgrote deel van de analyses op het bepalen van toonverhoudingen of op
het verdelen ervan, steunend op berekeningen en nametingen op een
meetinstrument. Het historisch meest besproken meetinstrument daartoe,
betreft de monochord, maar de precisie van dit instrument is beperkt
omwille van de precisie van de harmonische structuur van een snaar.
Nameting hiervan toont aan dat een tweede of derde harmonische van een
snaar reeds tot een factor 1,004 kan afwijken van de theoretische
waarde ; zie ook Raes G.-W. [ ]4 ]. Het is dus niet
altijd zeker of de gepubliceerde waarden de werkelijke verhoudingen
precies weergeven (zie ook : Harmonische Afwijkingen).
Om bovenstaande redenen, zal de theoretische
uitwerking van historische temperamenten verder in deze tekst altijd
gebeuren op basis van zwevingsfrequenties, een alternatieve wijze waarop
er rechtstreeks en met meer preciesie kan aangesloten worden bij
mogelijke rechtstreekse waarnemingen met het oor. Maar zelfs
aldus, kunnen de berekeningen nog steeds niet op een exacte wijze de
auditieve waarnemingen bevestigen, gezien de complexe werking van
het oor en de inharmoniciteit van de trillende lichamen, … de harde
en werkelijke aard van reële fysisch acoustische fenomenen, die
onmogelijk in volledig juiste mathematische modellen kunnen gegoten
worden. Deze alternatieve berekeningen zijn gelukkig en
waarschjnlijk meestal wel voldoende om tot een aantal besluiten te
kunnen komen.
BEREKENINGEN OP BASIS VAN DE FREQUENTIE VAN DE ZWEVINGEN. (Terug naar Inhoud)
“Wiskunde zwemt bekoorlijk onder het muzikaal oppervlak” E. E. Helm (1928- [ 5 ]
Er bestaan talloze
temperamenten. Daarom worden de herberekeningen met gelijke verdeling
van de komma door gelijke verdeling van de frequenties van de zwevingen,
hier beperkt tot een zeer beperkt aantal temperamenten die
geschiedkundig bij de belangrijkste horen.
Het is gebruikelijk om auditief te stemmen, op alle
noten die binnen de F3-F4 partitie liggen [Calvet A., 2020]. Het gebruik
van deze partitie heeft deels historische gronden, ze omvat de langste
niet omwikkelde snaren van een piano, zodat ze op dit instrument een
rijke en beste harmonische structuur hebben, en de frequentie van de
zwevingen is voldoende laag om gemakkelijk op het oor te kunnen
beoordeeld worden. Bij dit stemmen wordt gezocht naar een optimalisatie
van alle kwinten, kwarten en grote en kleine tertsen die binnen dit
bereik deel uitmaken van de diatonische toonladder op C-groot. Om de
toonhoogtes te berekenen kunnen onderstaande formules worden toegepast,
alhoewel er moet op gewezen worden dat ze de zwevingen maar zeer
rudimentair berekenen, voor lage initiële zwevingsfrequenties, want ze
houden geen rekening met het consonantievenster volgens Plomp en Levelt
(1965), en ook niet met de inharmoniciteit van snaren of geluid in het
algemeen :
| qF=2C4-3F3 |
qC=4G3-3C4 |
qG=2D4-3G3 |
qD=4A3-3D4 |
| qA=2E4-3A3 |
qE = 4Bb3-3E4 |
qB=4F#3-3Bb |
qF#=2C#4-3F#3 |
| qC#=4G#3-3C#4 |
qG#=2Bb-3G#3 |
qEb=4Bb3-3Eb4 | qBb=4F3-3Bb3 |
| pF=4A3-5F3 |
pC=4E4-5C4 |
pG=4B3-5G3 |
| rD=10F3-6D4 |
rA=5C4-6A3 |
rE=10G3-6E4 |
rB=5D4-6B3 |
HET GELIJKZWEVEND TEMPERAMENT of ook : evenredig zwevend (Terug naar Inhoud)
WOLFSKWINT (Terug naar Inhoud)
De kwint op
< G# > of < Ab > is zeer onrein, in het geval van een Pythagoreïsch systeem
beperkt tot twaalf noten, dat drie < #
>. en drie < b >
bevat, zoals reeds getekend op de kwintencirkel. Deze kwint wordt om
die reden ook wel “wolfskwint” genoemd.
De
sterke onreinheid van de kwint op < G #
> of < Ab
> kan voor een eerste en meest “eenvoudige” verbetering
bijvoorbeeld worden weggewerkt door een gelijke verdeling van zijn
onreinheid over alle kwinten. Hierdoor bekomt men een perfecte
sluiting van de kwintencirkel, met een enharmonie van de noten
< G # > en <
Ab > , maar ook bij alle andere gewijzigde
noten, zoals bijvoorbeeld < A#
> en < Bb >,
enz ...
In de klassieke muziektheorie is het gelijkzwevend temperament niet écht gelijkzwevend, maar heeft men over alle noten een gelijke verhouding voor gelijke intervallen. Het wordt daarom soms ook het Evenredig Zwevend Temperament genoemd, omdat de frequentie van een zweving evenredig is met de frequentie van de grondnoot van het interval.
Het was niet
eenvoudig om mathematisch of meetkundig twaalf verkleinde kwinten te
bepalen, met een gelijke toonverhouding die leidt tot een gesloten
kwintencirkel. Deze verdeling moet gekend zijn, wil men ze kunnen
instellen of nameten, bijvoorbeeld op een monochord. Daartoe moet men
dus een twaalfde wortel van twee kunnen bepalen. In principe kan dit
door twee maal een vierkantswortel te trekken, gevolgd door een derde
macht wortel.
Rekenkundige bepaling : een iteratieve methode om
een vierkantswortel te bepalen is gekend sinds Heron van Alexandrië
(ca. 10 - ca. 70), een exacte rekenkundige bepaling van een tweede en
derde macht wortel zou gekend zijn sinds Aryabhata (476 n.C.), een
Indisch astronoom.
Meetkundige bepaling. Een vierkantswortel kan
gemakkelijk bepaald worden door toepassing van de stelling van
Pythagoras op een rechte driehoek, volgens Euclides (ca. 300 v.C.).
Zie figuren hieronder.
Een derde macht wortel kan bepaald worden bij middel van een constructie volgens Nicomedes (ca. 280 v.C. - ca. 210 v.C.), zie Verbeken B. [2016, p. 21].
Constructie van Nicomedes
Noot :
De constructie van de driehoek ABC, vereist dat < k >
kleiner moet zijn dan < 8 > en positief. Indien
k > 8, dan wordt de basis van de driehoek groter dan de som
van de twee opstaande gelijke zijden, en dit kan dus niet. Bij een
groter getal deelt men het getal eerst door een derde macht van een
geheel getal, tot wanneer men een grootste uitkomst heeft die tussen 1
en 8 ligt.
Verder is de wortel uit een negatief getal gelijk aan
de negatieve waarde van de wortel uit het gelijk positief getal.
∆ BCD en ∆ AED zijn gelijkvormig : 
∆ AEP en ∆ CQP zijn gelijkvormig :
zodat
Volgens Pythagoras voldoet AM binnen ∆ ABM en ∆ AQM aan :
zodat 
hieruit
of ook 
zodat 
of 
Vroege besprekingen van het gelijkzwevend temperament zijn afkomstig van Galilei [1581], Praetorius (1571-1621), Mersenne (1588-1648), en vroege mathematische uitwerkingen zijn gekend van Chu Tsai-Yu (1584) en S. Stevin [1585]. Ook Zarlino (1588) bespreekt dit temperament.
De onderstaande figuur uit het boek van Zarlino illustreert hoe men bij middel van opeenvolgende driehoeken een meetkundige reeks van verhoudingen kan tot stand brengen. De verhouding in hoogte tussende kleinste en de grootste driehoek is gelijk van twee, en dus heeft men een reeks die met de twaalfde wortel van twee toeneemt. De eerste stap moet daartoe wel gelijk zijn aan de twaalfde wortel van twee, en deze kan meetkundig bepaald worden door opeenvolgende wortels (zie hierboven), of eventueel ook door een benadering in opeenvolgende stappen, tot wanneer de tekening juist uitkomt (trial and error ; vallen en opstaan).
Zarlino : gelijke indeling van een octaaf
Stevin berekende gehele getallen waarmee de toonhoogtes evenredig zijn en die in stappen met een factor 2(1/12) van elkaar verschillen ; 12 stappen tussen 5.000 voor de grondtoon, tot 10.000 voor het octaaf. De berekening is zeer merkwaardig, maar zijn reken methode heeft geleid tot enkele zeer lichte fouten ; zie de tabel hieronder.
| Noot |
C |
C# |
D |
Eb |
E |
F |
| Stevin |
5.000 |
5.296 |
5.611 |
5.944 |
6.298 |
6.674 |
| Exact |
5.000 |
5.297 |
5.612 |
5.946 |
6.300 |
6.674 |
| Noot |
F# |
G |
G# |
A |
Bb |
B |
| Stevin |
7.071 |
7.491 |
7.936 |
8.409 |
8.908 |
9.438 |
| Exact |
7.071 |
7.492 |
7.937 |
8.409 |
8.909 |
9.439 |
Ook merkwaardig is de benadering door B. Fritz [1757],
die volgens zijn beschrijving geen gelijke verhoudingen nastreeft, maar
inderdaad een gelijke en zeer kleine, doch niet nader gedefinieerde
onreinheid van kwinten wenst.
Een werkelijke gelijkheid van de frequentie van
zwevingen is alleen maar mogelijk binnen één octaaf ; per octaaf heeft
men per definitie een verdubbeling van frequenties. Een berekend
resultaat zal dus afhangen van de noot waarop het octaaf is gebouwd, en
aldus zijn er 12 mogelijke oplossingen, één per gekozen grondnoot. Deze
oplossingen verschillen echter quasi niet, qua absolute toonhoogte van
de noten.
Voor het stemmen binnen een toonladder op de noot
< F3 >, kunnen de toonhoogtes berekend worden op basis
van de hierboven gegeven vergelijkingen, met als toegevoegde voorwaarden
:
q =
qF = qC = qG
= qD = qA = qE
= qB = qF# = qC#
= qG# = qEb = qBb
en A3 = 220
Zie de onderstaande tabel, voor een vergelijking van de “klassieke waarden”, met deze bekomen voor gelijke zweving binnen het bereik F3-E4.
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Klassiek |
174,61 |
185,00 |
196,00 |
207,65 |
220,00 |
233,08 |
| Zweving |
174,66 |
185,05 |
196,00 |
207,69 |
220,00 |
233,15 |
| q |
- 0,80 |
- 0,80 |
- 0,80 |
- 0,80 |
- 0,80 |
- 0,80 |
| p / r ;
m |
6,69 |
|
8,02 |
|
- 12,02 |
|
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 246,94 |
261,63 |
277,18 |
293,66 |
311,13 |
329,63 |
349,23 |
| 247,00 |
261,60 |
277,18 |
293,60 |
311,13 |
329,60 |
349,33 |
| - 0,80 |
- 0,80 |
- 0,80 |
- 0,80 |
- 0,80 |
- 0,80 |
- 1,59 |
| - 14,02 |
10,43 |
|
- 14,96 |
|
- 17,63 |
m = 96 |
Het gelijkzwevend temperament
De lijn < p / r ; m > in deze tabel geeft de
zwevingsfrequenties op voor de grote tertsen op F, C, G ; de kleine
tertsen op D, A, E, B ; en onderaan in de kolom F4, een voorgestelde
instelling voor een metronoom die de instelling van de
zwevingsfrequentie objectief kan ondersteunen.
De tertsen
binnen het gelijkzwevend temperament zijn van mindere kwaliteit, omwille
van hun betrekkelijk hoge zwevingsfrequenties.
Op
de overgang van < E4 > naar < F4 >,
verdubbelt de zwevingsfrequentie < q >
van de kwinten. Anderzijds zijn de verschillen in toonhoogte met de
“klassieke” waarden verwaarloosbaar : 0,32 cent gemiddeld,
en 0,52 cent maximum. Ze zijn niet meetbaar met een monochord, en
zijn zelfs met een moderne elektronische toonhoogtemeter zeer moeilijk
vast te stellen. Het sluiten van de kwintencirkel bij het stemmen op
het oor is moeilijk, omwille van de lage zwevingsfrequenties van alle
kwinten en de afwezigheid van reine intervallen die als controle op
het stemmen zouden kunnen dienen.
DE MIDDENTOON (kwart komma middentoon) (Terug naar Inhoud)
De middentoon resulteert uit een groeiend belang voor
reine grote tertsen, tijdens de late Barok. Een klassieke toonladder kan
hoogstens acht reine grote tertsen inhouden, want één grote terts omvat
vier kwinten, en bij de middentoon wordt dit inderdaad aldus uitgewerkt.
Deze wijze van stemmen werd door P. Aaron [1523] beschreven.
Typerend is de daartoe vereiste gelijke vermindering van de kwinten die
de reine grote terts C-E vormen, met 1/4 van een syntonische komma ;
deze vorm van middentoon wordt daarom de 1/4-de komma middentoon genoemd
; ook genaamd als kwart komma middentoon.
De chronologie betreffende een
aantal alternatieven kan revelerend zijn. De middentoon startte met de
1/4-de komma versie (Aaron 1523), later kwam de 1/5-de komma versie
(Rossi 1666, Sauveur 1701), en nog later de 1/6-de komma versie (Romieu
1758). Een mogelijke hypothese is dat deze niet werden gecreëerd op
basis van gemeten en berekende syntonische komma verdelingen, maar
mogelijk wel zuiver auditief, zoals hieronder wordt uiteengezet ; zie :
Di Veroli (2018), Fogliano (1529).
Een kwint die een kwart van een syntonische komma
is verminderd, kan eventueel als volgt worden bekomen.
Stem een reine grote terts C-E,
en dan vanaf C een reine kwint naar G, en vanaf E een reine kwint naar
A. De som van de kwinten G-D en D-A moet dan één syntonische komma
afwijken. Verdeel de afwijking gelijk over deze twee kwinten (noot
: hoe kan men dit anders dan auditief doen ?), beiden worden dus een
halve komma te klein. Verdeel nadien de bestaande afwijkingen gelijk
tussen de kwinten C-G en G-D enerzijds, en ook tussen de kwinten D-A
en A-E anderzijds (noot : ook hier ; hoe kan men dit anders dan
auditief doen ?). Deze kwinten hebben aldus alle vier een gelijke
vermindering, die dus de helft van 1/2 komma bedraagt = 1/4 van
een komma.
De procedure hierboven geeft dus
een beschrijving hoe een komma binnen een grote terts in vier kan
gedeeld worden. Hoe daartoe een gelijkheid in afwijking wordt bereikt,
wordt niet vermeld. Indien een gelijkheid tussen kwinten moet tot
stand gebracht worden, indien ze samen geen deel uitmaken van een
reine grote terts, is bovendien in het geheel niet duidelijk, zeker
niet op basis van de bovenstaande procedure.
De
verdeling van een komma kan gemakkelijk, ook op niet aangrenzende
kwinten, indien ze uitgevoerd wordt op basis van een waarneming van
gelijke frequenties van zwevingen. Op basis van de formule voor
zwevingen van een kwint of kwart, en met de noot A3 op 220 Hz (dus
voor A4=440 Hz) voor een reine grote terts, bekomt men een
gelijke zweving van 2,21 zwevingen/s., indien er zoals het
gebruikelijk is, auditief gestemd wordt op de noten die liggen
tussen F3 (F van het 3-de octaaf) en F4 [Calvet, 2020]. De
nagerekende verhoudingen van de vier kwinten die de grote terts C-E
vormen liggen tussen 1,49438… en 1,49624…, met tussen beiden een
verschil in verhouding van niet meer dan 1,00124… ; dit is met
normale harmonische afwijkingen in snaren onmogelijk met een
monochord vast te stellen.
Bemerking : indien men de
middentoon wenst te stemmen met de noot A als stemvork, kan men de
bovenstaande procedure aanvangen met een reine grote terts op F en
een gelijkaardige aanpassing van de hierbij betrokken kwinten.
Een middentoon gestemd met een reine terts op C-E, met gelijke zweving op de kwinten C-G, G-D, D-A, A-E, binnen het octaaf op < F3 >, kan bekomen worden door de oplossing van de volgende vergelijkingen :
Reine grote terts op C4 : A2 = 220
q = qC = qG = qD
= qA
pC
Verdere reine grote tertsen :
0 = pG = pD = pA
= pE = pBb = pEb
Dit leidt tot volgende tabel :
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Klassiek |
176,00 |
183,90 |
196,77 |
205,61 |
220,00 |
235,40 |
| Zweving |
176,00 |
183,79 |
196,78 |
205,56 |
220,00 |
235,26 |
| q |
- 1,77 |
- 1,38 |
- 2,21 |
13,03 |
- 2,21 |
- 1,77 |
| p ; m |
0,00 |
22,06 |
0,00 |
24,67 |
0,00 |
0,00 |
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 |
E4 |
F4 |
| 245,97 |
263,18 |
275,00 |
294,25 |
314,84 |
328,98 |
352,00 |
| 245,98 |
263,12 |
275,00 |
294,07 |
314,85 |
328,89 |
352,00 |
| - 2,76 |
-2,21 |
- 2,76 |
- 2,21 |
- 3,54 |
-2,76 |
|
| 29,62 |
0,00 |
33,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
m = 133 |
Kwart komma Middentoon
De verschillen in toonhoogte tussen het “klassiek”
berekend temperament en dit dat steunt op gelijke zwevingen, zijn
onbeduidend, gemiddeld 0,16 cent, met een maximum gelijk aan 1,03 cent.
Uit
de tabel blijkt duidelijk, dat de zwevingen op de kwinten op C, G, D,
A éénzelfde frequentie hebben, - 2,21 zwevingen/sec.. Om deze
zweving precies in te stellen, kan er gebruik gemaakt worden van een
metronoom ingesteld op 133. Nadat C, G, D, A en E zijn ingesteld, kan
er verder auditief gestemd worden door het instellen van reine grote
tertsen op F, G, D, A,
E, Bb.
De grote terts toonaarden in
Bb, F, C, G, D, A hebben allen een identieke
diatonische structuur en zijn zeer rein. De kwint op G# is zeer onrein, het is een wolfskwint. De vier grote tertsen
op B, F#, C# en G#, die de grote kwint op G# omspannen, zijn eveneens zeer onrein. Daardoor zijn de toonaarden
met drie of meer < #
> of twee of meer < b > zeer
onrein, en er wordt normaal vermeden om deze toe te passen.
De onreinheden van de
middentoon en zijn minder bruikbare toonaarden kunnen ingezet worden
voor het uitdrukken van hevige affecten. Sterke voorbeelden hiervan
komen voor in de “Mattheus Passie” van J. S. Bach (zie Kelletat,
1982) tijdens de volgende sequenties : "Sind Blitze, sind Donner (het dondert en bliksemt)", …
"Eröffne den
feurigen Abgrund, o Hölle (open de vurige afgrond, oh hel)“, … "Der du den Tempel Gottes
zerbrichts
(Jij die de tempel van God vernietigt)“, … "Laß ihn kreuzigen (Laat hem gekruisigd
worden)“, …"Ich
bin's, ich sollte büßen (Ik ben het, ik moet boeten)“, … "Ach Golgotha, unselges Golgotha (O
Golgotha, onzalige Golgotha)“, … "Wahrlich, dieser ist Gottes Sohn gewesen (Voorwaar, dit was de Zoon
van God)“. Ook G. F. Händel en anderen hebben deze middentoon
eigenschap gebruikt. W. A. Mozart daarentegen heeft maar sporadisch
gebruikt gemaakt van de grote terts tonaarden in E of Eb
de
eerste toonaarden die tegen de goed klinkende toonaarden aanleunen,
en heeft geen verder verwijderde toonaarden toegepast.
Op de noten Eb, Bb,
F, C, G, D, heeft men een
redelijk consonante tritonus.
| Ab | Eb | Bb | F | C | G | D | A | E | B | F# | C# | G# |
| -32,0 | 3,9 | 2,9 | 2,2 | 3,2 | 2,4 | 3,6 | -34,2 | -51,1 | -38,2 | -28,6 | -42,7 | -32.0 |
Alleen deze middentoon heeft zes consonante tritoni. Deze komen allen voor in Bach composities [Kelletat, 1960, 1981, p. 45-46]. Dit is niet echt verwonderlijk, want Bach stond open voor elk interval dat goed klonk, en hij heeft veel met de middentoon gewerkt [Kelletat, 1960, 1981, p. 23], voornamelijk op orgels dus, die in zijn tijd meestal in middentoon gestemd werden.
1/5 Komma MIDDENTOON ; Sauveur (1701), Rossi (1666) (Terug naar Inhoud)
De
kwart (1/4) komma middentoon heeft een sterke wolfskwint. De dissonantie
van deze kwint kan verminderd worden door de grote tertsen een
kleinigheid te vergroten, ze worden dus iets groter dan rein. Dit is
mogelijk volgens de procedure voor de kwart komma middentoon, maar
waarbij men door opeenvolgende benaderingen met kleine vergrotingen van
de grote terts, komt tot op een punt dat de grote terts en de vier
kwinten even snel zweven ; let wel, de grote terts zweeft dan wegens 1/5
komma te groot, en de kwinten zweven dan wegens 1/5 komma te klein.
(noot :
1/5+1/5+1/5+1/5+1/5 = 1).
De toonhoogtes kunnen zeer eenvoudig op basis van volgende vergelijkingen bekomen worden :
Gelijke zweving op kwinten en tertsen : A2 = 220- qC = - qG = - qD = - qA = pC = pG = pD = pA = pE = pF = pBb = pEb
De oplossing ziet er uit als volgt
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Klassiek |
175,56 |
184,25 |
196,53 |
206,25 |
220,00 |
234,57 |
| Zweving |
175,61 |
183,98 |
196,64 |
205,88 |
220,00 |
234,80 |
| q |
- 1,17 |
- 0,97 |
- 1,95 |
10,81 |
- 1,65 |
- 1,95 |
| p ; m |
1,95 |
19,27 |
1,95 |
21,90 |
1,95 |
1,95 |
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 245,97 |
262,69 |
275,68 |
294,06 |
313,54 |
329,18 |
351,13 |
| 246,28 |
262,83 |
275,49 |
293,98 |
314,23 |
329,03 |
351,22 |
| - 2,92 |
- 1,95 |
- 2,92 |
- 1,95 |
- 3,50 |
- 1,95 |
- 2,34 |
| 25,50 |
1,95 |
27,45 |
1,95 |
1,95 |
1,95 |
117 |
1/5 komma Middentoon
De verschillen in toonhoogte liggen iets boven de meestal
waargenomen verschillen : 1,8 cents gemiddeld, met een
maximum van 3,8 cents.
SILBERMANN (1/6 komma middentoon) ; Romieu (1758)(Terug naar Inhoud)
De 1/6 komma
middentoon wijst op een verder evoluerende wens naar meer reinheid
voor alle toonaarden.
Silbermann was een zeer befaamd
orgelbouwer ten tijde van J. S. Bach met wie hij ook bij de
keuring van orgels heeft samengewerkt. Beklijvend is een uitspraak van
Bach : hij zou aan Silbermann gezegd hebben dat deze zijn orgels
stemt naar zijn wil, maar omgekeerd ook dat hij zelf muziek speelt
naar zijn wil ; ... wat echter in het geheel niet betekent dat Bach
het Silberman temperament niet goed zou gevonden hebben.
De Silbermann orgels werden
gestemd in middentoon waarbij de syntonische komma in zes gedeeld
wordt, één stap verder dus in het verkleinen van de wolfskwint.
De toonhoogtes kunnen zeer
eenvoudig op basis van volgende vergelijkingen bekomen worden :
(Noot : 1/6+1/6+1/6+1/6+2/6=1)
De zweving op de grote terts is twee maal zo snel als deze op de kwinten : A2 = 220
-
qC = - qG = - qD
= - qA = 2pC = 2pG
= 2pD = 2pA = 2pE
= 2pF = 2pBb= 2pEb
De oplossing ziet er uit als volgt
| Noot |
F3 |
F
#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Klassiek |
175,27 |
184,48 |
196,37 |
206,68 |
220,00 |
234,18 |
| Zweving |
175,30 |
184,13 |
196,52 |
206,14 |
220,00 |
234,43 |
| q |
- 0,70 |
- 0,65 |
- 1,74 |
9,05 |
-1,74 |
- 2,09 |
| p ; m |
3,48 |
170,9 |
3,48 |
19,73 |
3,48 |
3,48 |
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 246,48 |
262,37 |
276,14 |
293,94 |
312,89 |
329,32 |
350,55 |
| 246,52 |
262,61 |
275,87 |
293,91 |
313,74 |
329,13 |
350,61 |
| - 3,04 |
- 1,74 |
- 3,04 |
- 1,74 |
- 3,48 |
- 1,3 |
- 1,39 |
| 22,35 |
3,48 |
23,09 |
3,48 |
3,48 |
3,48 |
m = 104 |
Silbermann (1/6-de komma middentoon)
Met een metronoom op 104 heeft men 2 zwevingen per tik van de
metronoom, op de kwinten binnen de grote terts
< C-E >, en 4 zwevingen op alle grote tertsen. Ter
controle heeft men ook 4 zwevingen op de kwint op Eb4.
De verschillen in toonhoogte
liggen nog iets verder boven de meestal waargenomen verschillen : 2,3
cent, met een maximum gelijk aan 4,7 cent.
Men heeft
nog andere middentoon temperamenten. Een hogere verdeling van de komma
zal leiden tot verbetering van de kwinten tot op een punt dat ze allen
bruikbaar worden, maar dit gaat natuurlijk ten koste van de kwaliteit
van de tertsen.
WELGETEMPERD STEMMEN (ook welgetempereerd) (Terug naar Inhoud)
Kelletat geeft op basis van de publicaties van Werckmeister, een muzikale definitie voor het welgetemperd stemmen [1960 / 1981, p. 9 [ 6 ] ] :
“Welgetemperd
stemmen veronderstelt een mathematisch-akoestische en
praktisch-muzikale indeling van de tonen van een octaaf in twaalf
delen, opdat er op basis van het rein systeem een onberispelijke
uitvoering mogelijk zou zijn in alle toonaarden, waarbij dient
gestreefd te worden naar een zo hoog mogelijke reinheid van de
diatonische intervallen.
Dit temperament komt voor als
een spaarzaam temperende, aan verhoudingen gebonden versoepeling en
verlenging van het middentoonsysteem, als ongelijkzwevende halve tonen
en als gelijkzwevend temperament.”
Voornamelijk in
de Angelsaksische wereld worden Welgetemperde stemmingen ook
circulaire temperamenten genoemd, - Circulating Temperament -,
[Barbour, 1951, p. ix]. Deze naamgeving ondersteunt de karakteristiek
dat alle kwinten op de kwintencirkel een aanvaardbare beperkte
afwijking hebben. De maximaal toegelaten verminderde afwijking zou
kunnen gesteld worden op een verhouding van ongeveer
< 1,49 >, op basis van de verwerping door Marpurg
[1776], van het Kirnberger II temperament dat kwinten A-E en D-A bevat
met deze verhouding [Kelletat, 1960/81 ; p. 48] ; dit komt
overeen met - 8,2 (A-E) en - 5,5 (D-A)
zwevingen/sec. .
Er zijn
inderdaad grenzen aan het welgetemperd zijn.
Een eerste uiterste grens wordt
bereikt met de Gelijkzwevende Stemming. Indien men buiten de diatonische
kwinten op C-groot, al was het maar één kwint zou hebben die kleiner is
dan deze van de gelijkzwevende stemming, dan zou er binnen C-groot
omwille van het sluiten van de kwintencirkel minstens één kwint moeten
zijn die groter is dan deze van de gelijkzwevende stemming ; in andere
woorden, er moet dan een diatonische ladder bestaan die reiner is dan
deze van C-groot, en dit kan niet de bedoeling zijn.
Twee andere uiterste grenzen worden
bereikt wanneer de diatonische toonladder op C-groot één reine grote
terts inhoudt. Een tweede reine grote terts is niet mogelijk, want hij
leidt er mathematisch toe dat er dan buiten deze toonladder kwinten
zullen zijn die groter zijn dan rein, en ook dit kan niet de bedoeling
zijn. De twee bijkomende uitersten zijn aldus :
een reine grote terts op F, wat vier kwinten vereist die een syncopische komma verkleind zijn, deze op F, C, G, D, gecombineerd met een kwint op A die een schismatische komma verkleind is. De kwint op E en alle andere kwinten zijn dan rein
een reine grote terts op G, wat vier kwinten vereist die een syncopische komma verkleind zijn, deze op G, D, A, E, gecombineerd met een kwint op C die een schismatische komma verkleind is. De kwint op F en alle andere kwinten zijn dan rein.
De waarden van onreinheden van de kwinten en grote en kleine tertsen die met deze drie gevallen overeenkomen, kunnen in een lijngrafiek uitgezet worden, en hierdoor kunnen binnen deze lijnen de redelijk brede banden met de toegelaten minimum en maximum waarden van de onreinheden afgelezen worden.
Bovenste
vlak : toegelaten gebied voor grote tertsen
Middenste
vlak
: toegelaten gebied voor kwinten
Onderste
vlak : toegelaten gebied voor kleine tertsen
Het is duidelijk dat de toegelaten gebieden voor kwinten en grote en kleine tertsen enorm veel varianten toelaten. Daar is voornamelijk in de late Barok gretig gebruik van gemaakt.
WERCKMEISTER III [1691] (Terug naar Inhoud)
Welgetemperde toonladders worden onder deze naam
vermeld door Werckmeister, door gebruik van de termen “wohl” en
“temperieren”, weliswaar nog steeds niet als samengestelde term
[Werckmeister, 1681, 1686, 1691, 1698]. Hieruit ontstond de term
“Wohltemperiert”.
Het
Werckmeister III temperament [1691, Cap. XXX, pp. 77-78],
schrijft een vermindering voor met 1/4 komma, op de kwinten C-G, G-D,
D-A, en B-F#. Alle andere kwinten worden verondersteld rein te zijn. Dit
betekent dat de besproken komma in feite een pythagoreïsche komma moet
zijn, en niet de syntonische komma, zoals verondersteld in zijn tekst.
Bij verdeling van deze komma op basis van gelijke zwevingen, heeft men
als criteria :
Één vierde van een komma :
q = qC = qG = qD = qB
Reine kwinten :
0 = qA
= qF# = qC# = qG#
= qF = qBb
=qEb
Men bekomt de volgende tabel.
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Klassiek |
175,60 |
185,63 |
196,89 |
208,12 |
220,00 |
234,14 |
| Zweving |
175,61 |
185,00 |
196,94 |
208,13 |
220,00 |
234,14 |
| q |
0 |
0 |
- 2,49 |
0 |
0 |
0 |
| p ; r
/ m |
1,96 |
|
5,31 |
|
- 2,94 |
|
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 247,50 |
263,40 |
277,50 |
294,33 |
312,18 |
330,00 |
351,21 |
| 247,50 |
263,41 |
277,50 |
294,16 |
312,19 |
330,00 |
351,22 |
| - 2,49 |
- 2,49 |
0 |
- 2,49 |
0 |
0 |
0 |
| - 14,19 |
2,94 |
|
- 8,89 |
|
- 10,62 |
m = 149 |
Werckmeister III
De verschillen in toonhoogte zijn miniem : minder dan 0,98 cent, gemiddeld 0,32 cent.
KIRNBERGER III (Terug naar Inhoud)
Kirnberger was een leerling van J. S. Bach, en heeft in 1771 “Die Kunst des reinen Satzes in der Musik” gepubliceerd. C. P. E. Bach, zoon van J. S. Bach, verdedigt het werk van Kirnberger als reactie op uitlatingen van Marpurg [Kirnberger, 1771, vol. II, deel III, p. 188 [ 7 ] ] :
“Het gedrag van meneer Marpurgen jegens u is verachtelijk. ….. Je kunt hardop zeggen dat de principes van mij en die van mijn vader anti-rameauïsch zijn”
C. P. E. Bach, beschrijft [1753] kwalitatief, - niet
kwantitatief dus -, hoe men de kwinten licht afwijkend van de reinheid
moet stemmen, gepaard aan een auditieve controle van grote en kleine
tertsen, en volledige akkoorden, zó dat men in alle vier en twintig
toonaarden rein kan spelen (zie verder, onder de welgetemperde
middentoon). Het is door de beschrijving duidelijk dat het een zuiver
auditieve wijze van welgetemperd stemmen betreft. Het Kirnberger III
temperament vertoont deze beschreven karakteristieken.
Forkel [1802, p. 41 [ 8 ]], een vriend van de zonen van Bach,
getuigt dat zijn zonen nooit ontkenden dat de leer van Kirnberger in
lijn ligt met deze van Bach, en getuigt zelf :
“Wie de reikwijdte van Bachs lesmethode op het gebied van compositie wil leren kennen, vindt deze in Kirnbergers “Kunst des reinen Satzes” adequaat uitgelegd.”
Een eerste temperament dateert van 1766. Zijn derde
hieronder, wordt in 1779 beschreven in een brief aan Forkel. Volgens
Kelletat [1960/81] zou dit mogelijk het temperament zijn dat door J. S.
Bach werd toegepast voor de uitvoering van “Das wohltemperirte Clavier”
(1722 / 1742-44), maar dit kan betwijfeld worden, want dit muziekwerk
werd gepubliceerd lang vóór het eerste temperament van Kirnberger of ook
de brief aan Forkel. Het feit dat de publicatie van Kirnberger in lijn
ligt met de leer van Bach, impliceert niet noodzakelijk dat het
temperament dat hij heeft ontwikkeld deze leer niet ondersteunt. Bach
was niet begaan met de mathematische aspecten van het temperen bij het
stemmen. Wel is bekend dat hij zeer bedreven was in het stemmen van zijn
klavier, en dat in zeer korte tijd gedaan kreeg. Het stemmen moet dus
relatief eenvoudig geweest zijn. Hier kan er op gewezen worden dat
Kirnberger III zeer eenvoudig te stemmen is, maar dit belet niet dat er
ook andere temperamenten zijn die aan deze eis kunnen beantwoorden,
zoals er verder zal kunnen vastgesteld worden bij Vallotti en een nieuw
voorstel in deze tekst, - de welgetemperde middentton -, dat op zijn
beurt ook opnieuw steunt op verregaande gelijkheid van zwevingen.
Kirnberger III heeft een zeer
eenvoudige structuur en behoort daardoor tot de meest gemakkelijk
auditief te stemmen temperamenten. Karakteristieken zijn:
En reine grote terts op C
pC = 0
Gelijke
verdeling van de kwinten op C, G, A, E, die de grote terts op C
samenstellen
q
= qC = qG = qD
= qA
Alle resterende kwinten rein, behalve deze op F#, die dus impliciet een schismatische komma verkrijgt
0 = qE = qB = qC#
= qG# = qF= qBb =qEb
Dit geeft volgende tabel.
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Klassiek |
175,45 |
185,05 |
196,77 |
207,95 |
220,00 |
233,94 |
| Zweving |
175,41 |
185,00 |
196,78 |
207,89 |
220,00 |
233,88 |
| q |
0 |
- 0,63 |
- 2,21 |
0 |
- 2,21 |
0 |
| p; r
/ m |
2,95 |
|
2,76 |
|
- 4,42 |
|
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 246,73 |
263,18 |
277,26 |
294,25 |
311,92 |
328,98 |
350,91 |
| 246,67 |
263,12 |
277,19 |
294,07 |
311,84 |
328,89 |
350,82 |
| 0 |
- 2,21 |
0 |
- 2,21 |
0 |
0 |
0 |
| - 9,67 |
0 |
|
- 10,32 |
|
- 10,32 |
m=133 |
Kirnberger III
De verschillen in toonhoogte zijn miniem en gemiddeld gelijk aan 0,14 cent, met een maximum van 1,03 cent.
VALLOTTI (Terug naar Inhoud)
Het Vallotti temperament dateert uit 1728 en wordt door
Tartini vermeld [1754]. Hij publiceert een eerste deel van een boek
[1779], maar het is pas het tweede deel ervan, dat de beschrijving van
zijn temperament bevat [1950, p. 192 e.v.], en dat klaar was voor
publicatie, maar pas in 1950 werd gepubliceerd.
Vallotti
stelt volgens de uitgave van 1950 voor om op basis van muzikale
bedenkingen elk van de zes kwinten binnen de diatonische toonaard in
C-groot te verminderen met een zesde van een syntonische komma, dit zijn
de kwinten op F, C, G, D, A, E. De resterende zes kwinten worden rein
verondersteld. Dit voorstel houdt een niet expliciet vermelde
verwaarlozing in, van een schismatische komma. Zijn voorstel wordt
daarom meestal geïnterpreteerd als een eis die in werkelijkheid neerkomt
op een verdeling van de pythagorische komma, in plaats van de
syntonische. Op deze basis bekomt men de berekening van zijn temperament
zeer eenvoudig met :
Verminderde kwinten :
q = qF = qC = qG = qD = qA = qE
Reine kwinten :
0 = qB = qF# = qC#
= qG# = qBb = qEb
Door bovenvermelde structuur valt het Vallotti temperament ook zeer gemakkelijk auditief te stemmen.
Men bekomt de volgende tabel.
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Klassiek |
175,40 |
184,79 |
196,44 |
207,89 |
220,00 |
233,87 |
| Zweving |
175,49 |
184,88 |
196,44 |
207,99 |
220,00 |
233,99 |
| q |
- 1,59 |
0 |
- 1,59 |
0 |
- 1,59 |
0 |
| p ; r
/ m |
2,54 |
|
3,85 |
|
- 7,77 |
|
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 246,38 |
262,51 |
277,18 |
294,00 |
311,83 |
329,26 |
350,81 |
| 246,51 |
262,45 |
277,32 |
293,86 |
311,99 |
329,21 |
350,99 |
| 0 |
- 1,59 |
0 |
- 1,59 |
0 | - 1,59 |
|
| - 9,74 |
4,60 |
|
- 8,25 |
- 10,87 |
m=95 |
Vallotti
De verschillen in toonhoogte zijn miniem en gemiddeld gelijk aan 0,72 cent, met een maximum van 1,70 cent.
NEIDHARDT 1 (Terug naar Inhoud)
Het loont de moeite ook na te gaan hoe gelijk de temperamenten zijn, in
het geval van een meer ingewikkelde structuur. Neidhardt heeft zeer veel
temperamenten voorgesteld, en zijn eerste voorstel bevat reine kwinten,
en kwinten met verminderingen van 1/6 en zelfs 1/12 (!) komma, waarbij
gelijkaardige kwinten niet steeds met elkaar aansluiten ; hoe dit moet
uitgevoerd worden is niet meteen duidelijk. Dit leidt tot volgende
berekening :
Drie kwinten, op C, G, D, verminderd met 1/6 komma
2q
= qC = qG = qD
Zes kwinten, , op A, B, F#, C#, Bb, Eb, verminderd met 1/12 komma
q = qA = qB =
qF# = qC# = qBb
= qEb
Drie reine kwinten
0 = qF = qE = qG#
Men bekomt :
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Klassiek |
175,01 |
185,00 |
196,44 |
207,77 |
220,00 |
233,61 |
| Zweving |
175,00 |
185,19 |
196,46 |
207,83 |
220,00 |
233,60 |
| q |
0 |
- 0,82 |
- 1,63 |
0 |
- 0,82 |
- 0,82 |
| p ; r
/ m |
5,01 |
|
6,45 |
|
- 7,52 |
|
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 247,08 |
262,51 |
277,03 |
294,00 |
311,83 |
329,44 |
350,02 |
| 247,19 |
262,50 |
277,38 |
293,88 |
311,74 |
329,59 |
350,00 |
| - 0,82 |
- 1,63 |
0 |
- 1,63 |
- 0,82 |
0 |
0 |
| - 13,77 |
5,88 |
|
- 13,29 |
|
- 12,91 |
m=98 |
Neidhardt 1
De verschillen in toonhoogte zijn miniem en gemiddeld gelijk aan 0,93 cent, met een maximum van 1,70 cent.
BACH ; DE WELGETEMPERDE MIDDENTOON (Terug naar Inhoud)
Het temperament dat J. S. Bach zélf effectief stemde op zijn klavecimbel, blijft een zeer speculatief onderwerp, waarop wellicht nooit een historisch bevestigd, objectief en universeel aanvaard antwoord zal kunnen worden gegeven.
Ongeveer twee eeuwen lang, wellicht op basis van een
publicatie van Marpurg [1776], werd aangenomen dat J. S. Bach het
gelijkzwevend temperament heeft toegepast. Na een publicatie van
Kelletat [1960 ; 1981], groeien er hierover sterke twijfels, op basis
van musicologische analyses steunend ook op talloze referenties naar
historische publicaties. Kelletat werd hierin nochtans voorafgegaan door
Bosanquet [1876] en Barbour [1951], die dit standpunt evenwel niet zo
diep en uitgebreid hadden behandeld. Na een voorstel voor een
“Bach-temperament” door Kelletat zelf [1966], volgen talloze andere
voorstellen. Een niet limitatieve lijst zou kunnen zijn : Kellner
[1977], Billeter [1979, 2008], Barnes [1979], Lindley [1994, 2006],
Sparschuh [1998], Jira [2000], Zapf [2001], Francis [2004], Lehman
[2005], Allain-Dupré [2005], Jobin [2005], O’Donnell [2006], Spanyi
[2006], Interbartolo/Venturino [2007], Di Veroli [2008], Amiot [2008],
Broekaert [2020], enz...
De meest betrouwbare bronnen, hoe
Bach zijn klavier stemde, zijn wellicht een publicatie van zijn zoon
[Bach C. P. E., 1753] en Forkel [1802], die bevriend was met zijn zoon,
en ook nauwe contacten had met Kirnberger, een Bach-leerling.
Bach C. P. E. [1802, par. 14, p.
17-18, [ 9 ] ] :
“Beide soorten instrumenten moeten goed gestemd zijn, in die zin dat door het stemmen van de kwinten, kwarten, het testen van de kleine en grote tertsen en hele akkoorden, vooral de meeste kwinten zoveel van hun grootste zuiverheid verliezen dat het oor en jullie allemaal het nauwelijks opmerkt. Er kan goed gebruik worden gemaakt van vier en twintig toonsoorten. Door de kwarten uit te proberen heb je het voordeel dat je de noodzakelijke zweving van de kwinten duidelijker kunt horen omdat de kwarten dichter bij hun grondtoon staan dan de kwinten. Als de piano's op deze manier worden gestemd, kunnen ze terecht worden omschreven als de zuiverste instrumenten van allemaal vanwege de manier waarop ze worden bespeeld, in die zin dat sommige piano's zuiverder zijn gestemd maar niet worden bespeeld. Op de piano speel je alle vier en twintig toonaarden met gelijke helderheid, en het valt op dat ze in perfecte harmonie zijn, ondanks dat de harmonie door de omstandigheden meteen de geringste onzuiverheid ontdekt. Met deze nieuwe manier van temperen zijn we verder gekomen dan voorheen, hoewel het oude temperament (toegevoegde noot : de middentoon) zodanig was dat sommige soorten tonen zuiverder waren dan je vandaag de dag nog steeds in veel instrumenten aantreft. …”
Forkel [1802, p. 41, [ 10 ] ] :
“Niemand kon hem bijstaan voor zijn vleugel. Hij deed het altijd zelf, stemde ook de vleugel en stemde zelf zijn klavichord, en was zo bedreven in dit werk dat hij er nooit meer dan een kwartier over deed. Maar toen hij fantaseerde, waren alle 24 sleutels van hem ; hij deed met hen wat hij wilde. ...”
Bach zelf, was niet geïnteresseerd in toonverhoudingen, getallen en berekeningen rond temperamenten [Forkel, p. 39 [ 11 ]].
“Hoe handig en veilig Bachs stijl van lesgeven ook was in het spel, zo was het ook in het componeren. Hij begon niet met droge, zinloze contrapunten, zoals het geval was bij andere muziekleraren van zijn tijd ; nog minder viel hij zijn studenten lastig met berekeningen van toonverhoudingen, die naar zijn mening niet aan de componist toebehoorden, maar louter aan de theoreticus en instrumentmaker.”
Op basis van het bovenstaande, zou het moeten duidelijk zijn, dat Bach auditief stemde. In de zoektocht naar het “Bach-temperament”, en zeker indien het besproken wordt op basis van zwevingen, wordt er dikwijls gerefereerd naar een gekrolde figuur die door Bach zelf op één van de partituren van “Das wohltemperirte Clavier” werd aangebracht. Zie het onderste gekrolde deel van de figuur hieronder.
In lijn met de meeste voorstellen, kan worden aangenomen dat de gelijke
krollen die bij E4, A3, D4, G3, en C4 horen, overeenkomen met gelijk
verminderde kwinten. Een eerste voorstel in die zin komt van Sparschuh
[1999]. Jobin [2005] werkte hier ook een voorstel op uit, op basis van
interval-verhoudingen, met twee reine grote tertsen, geinspireerd op de
middentoon, die ten tijde van Bach zeer gebruikelijk was.
Jobin ligt
aan de bron van het voorstel hieronder, dat werd uitgewerkt samen met
Calvet, een auditief stemmer, en Amiot, professor wiskunde en muzikant.
De vermindering van kwinten leidt tot een verbetering van de betrokken
grote tertsen. De uitersten in de aanpassing van de kwinten liggen
tussen reine kwinten enerzijds, en reine grote tertsen anderzijds. Onder
de talloze mogelijkheden bij het welgetemperd stemmen, zou men als
compromis bijvoorbeeld een gelijke onreinheid kunnen wensen voor kwinten
en grote tertsen. Indien men zoals bij de middentoon begint met het
stemmen van de grote terts C-E, dan moet er voor een gelijkheid van
absolute waarden van onreinheden voldaan worden aan (let op het verschil
in teken voor q en p ; normaal zijn kwinten iets te klein, en grote
tertsen iets te groot) :
p = - q = pC
= pG = pD = pA
= pE = - qC
Het oplossen van dit stelsel leidt tot de vaststelling dat
ook de onreinheid van de grote terts op G dezelfde onreinheid heeft.
Analyse van het bovenstaande stelsel toont aan dat deze bijkomende
gelijkheid een exact mathematisch feit is, want
bovenstaand stelsel waaraan de gelijkheid < qC
= qG > wordt toegevoegd blijkt redundand
te zijn.
Bepaling van de noot
< F >. Ook hier heeft men opnieuw de vrijheid om te
kunnen zoeken naar een vergelijk tussen een reine kwint en een reine
grote terts op < F >. Gelijkheid van de kwint met de
reeds bestaande kwinten kan worden uitgesloten, omdat deze op de figuur
niet wordt aangegeven. Een reine kwint op < F > is
ongunstig voor de grote terts op < F >, en vice versa.
Een mogelijke optie kan daarom zijn om de grote terts op
< F > gelijk te maken aan de reeds uitgewerkte grote
tertsen op < C > en < G >, zoals het in
de middentoon gebruikelijk is, zodat :
pF = pC = pG
waardoor de noot < F > is bepaald, en
impliciet ook de kwint er op.
In lijn met veronderstellingen van Jobin en mogelijk ook
andere “Bach-temperament” bedenkers, worden de kwinten op B, F#,
C# rein, en wordt de < positieve ! >
uiterst kleine overblijvende onreinheid verdeeld over de kwinten op
< G# >, < Eb > en , < Bb >,
mathematisch uitgedruk door :
0
= pB = pF# = pC#
pG# = pEb =pBb
Alle bovenstaande vergelijkingen, leiden tot een oplossing die ook kan weergegeven worden op basis van tamelijk eenvoudige verhoudingen, zoals het gebruikelijk was en dikwijls nog steeds is :
Dit leidt ook tot de volgende tabel
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Zweving |
175,61 |
184,71 |
196,64 |
207,80 |
220,00 |
234,02 |
| q |
- 1,17 |
0 |
1,95 |
0,39 |
- 1,95 |
0,39 |
| p ; r
/ m |
1,95 |
|
1,95 |
|
- 5,84 |
|
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 246,29 |
262,83 |
277,07 |
293,98 |
311,90 |
329,03 |
351,22 |
| 0 |
- 1,95 |
0 |
- 1,95 |
0,39 |
- 1,95 |
- 2,34 |
| - 7,79 |
1,95 |
|
- 7,79 |
|
- 7,79 |
m=117 |
Welgetemperde Middentoon
Let op de
bekomen gelijkheid van de gewenste en aangeduide acht intervallen.
Het verloop van de kwinten wordt
op de voorgaande figuur met Bach-krollen, weergegeven met een lijn en
ook bij middel van waarde-balken, en deze elementen hebben een mooie
correspondentie met deze krollen.
Het stemmen dat start met een
gelijke zweving voor de grote terts C-E en de hierbij betrokken
kwinten, en de < C > die getekend staat
bij de krul voor < C4 > laten vermoeden
dat de voor deze stemwijze gebruikte stemvork de noot <
C > was, hoewel het stemmen evengoed mogelijk is
vertrekkend van de < A > noot.
De tritonus op F is redelijk consonant : - 2,14
zwev./sec, en komt voor in composities van Bach [Kelletat, 1960, 1981,
p. 45-16].
Het temperament valt auditief
vlot te stemmen, en dit is volgens Forkel kenmerkend voor het gemak
waarmee Bach stemde.
De karakteristieken zijn ook op
een kwintencirkel gemakkelijk af te lezen.
Welgetemperde
Middentoon
Intervallen met < = > : - (kwinten)
+ 1.95 (grote tertsen) zw/s.
Intervallen met < 0 > : rein
Intervallen met < | > : + 0.39 zwevingen / sec.
Kwint op F : residuele waarde ~ - 1,17 zw/s.
Omwille van de opbouw van het temperament, waarbij een
aanvakelijk op < C > bekomen grote terts verder gezet
wordt op < F > en < G >, kreeg dit
temperament als naam de “Welgetemperde Middentoon”, in samenspraak
tussen de heren A. Calvet, E. Amiot en de auteur, personen die bij het
tot stand komen van het temperament waren betrokken.
Het stemmen van dit temperament
wordt uitgelegd op de website < https://www.youtube.com/watch-v=lwfESoMxd8Y >,
OPTIMALISATIE van een WELGETEMPERD KLAVIER (Terug naar Inhoud)
MINIMALISATIE van ONREINHEDEN (Terug naar Inhoud)
Bovenstaand werden een reeks belangrijke typische temperamenten berekend. Het is duidelijk geworden dat het rekenen met zwevingsfrequenties een zinvolle benadering is om temperamenten te karakteriseren, en dat er geen beduidende, laat staan meetbare, verschillen zijn met de toonhoogtes bekomen bij middel van verhoudingen of cents. Veel historische temperamenten zijn aldus meestal proefondervindelijk tot stand gekomen, met een wens tot uitgebalanceerde welluidendheid, zonder dat dit objectief met voldoende precisie kon gemeten worden.
1. Minimalisatie van de onreinheid van ALLE kwinten en tertsen binnen de diatonische C-groot toonaard.
Op basis van de bevindingen zou een mogelijk criterium om een “optimaal” wel getemperde stemming te bekomen kunnen inhouden dat er een minimum aan zwevingen gewenst wordt. Dit criterium is gemakkelijk mathematisch te bepalen als minimum van de som van alle zwevingen op de belangrijkste diatonische intervallen binnen C-groot : zes winten, drie grote tertsen en vier kleine tertsen.
In eerste instantie werd de minimalisatie ooit bepaald door opeenvolgende iteraties. Deze iteraties werden niet uitgevoerd bij middel van een specifiek daartoe geschreven programma, doch wel manueel in een standaard rekenblad. Deze procedure is zeer arbeidsintensief en tijdrovend, wil men komen tot een uitslag die precies is tot op 1/100 Hertz. Dank zij een advies van prof. E. Amiot werd de berekening van een minimum objectiever, eenvoudiger, sneller en precieser.
De som hierboven, wordt na uitwerking :
Het minimum van deze som kan worden bepaald, door het uitwerken van haar partiële afgeleiden naar de zes onbekende noten F, C, G, G, E, B.
De aan nul gelijk gestelde partiëlen van de bovenstaande som, vormen na vereenvoudiging van de coëfficienten, een stelsel van zes lineaire vergelijkingen met zes onbekenden ; perfect oplosbaar dus (Cramer, 1750, p. 59-60, App. No.1, p. 657-659).
| |
F3 |
C4 |
G3 |
D4 |
E4 |
B3 |
= |
A3 |
| δΣ/δF3 |
67 |
- 3 |
0 |
- 30 |
0 |
|
= |
10 |
| δΣ/δC4 |
- 6 |
63 |
- 12 |
0 |
- 20 |
0 |
= |
30 |
| δΣ/δG3 |
0 |
- 6 |
75 |
- 3 |
- 30 |
- 10 |
= |
0 |
| δΣ/δD4 |
- 30 |
0 |
- 3 |
37 |
0 |
- 15 |
= |
6 |
| δΣ/δE4 |
0 |
- 20 |
- 60 |
0 |
65 |
- 12 |
= |
6 |
| δΣ/δB3 |
0 |
0 |
- 10 |
- 15 |
- 6 |
34 |
= |
0 |
Verder kunnen de vijf gewijzigde noten, bekomen worden door eenvoudige gelijkstelling van de zweving van hun kwinten. Men bekomt aldus als oplossing van het geheel aan vergelijkingen :
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Zweving |
176,47 |
184,66 |
197,14 |
208,34 |
220,00 |
234,97 |
| q |
- 2,43 |
0,95 |
- 2,57 |
0,95 |
- 2,49 |
0,95 |
| p |
- 2,34 |
16,60 |
- 2,14 |
12,27 |
9,86 |
2,85 |
| r |
- 17,13 |
- 7,95 |
- 8,00 |
- 20,54 |
- 2,57 |
- 22,52 |
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 245,89 |
263,49 |
277,46 |
294,43 |
312,98 |
328,76 |
352,94 |
| 0,95 |
- 1,88 |
0,95 |
- 3,29 |
0,95 |
- 2,69 |
- 4,86 |
| 22,45 |
- 2,41 |
24,42 |
5,12 |
12,25 |
22,91 |
-4,68 |
| - 3,22 |
- 16,02 |
- 21,01 |
- 1,90 |
- 31,29 |
- 1,09 |
- 34,25 |
Toonladder_1 met Minimale Zweving van diatonische intervallen
Deze oplossing
omvat verminderde grote tertsen op F, C, G. De optimale
vermindering van de onreinheid, inclusief deze van de kleine tertsen,
leidt tot een ver doorgedreven vermindering van de kwinten, zo ver dat
zelfs de diatonische grote tertsen verminderde tertsen worden. Verdere
gevolgen hiervan zijn dat er zes redelijk sterk vermeerderde
kwinten zijn, op B, F#, C#, G#, Eb, Bb, en dat er aan gepaarde grote tertsen groter dan
pythagoreisch zijn, op E, B, F#,
C#. Het is onwaarschijnlijk dat deze toonladder ooit muzikaal
zal toegepast worden.
Bovendien is het auditief
stemmen volgens deze toonladder niet eenvoudig : hoe kan men weten dat
een optimum werd bereikt indien men dit niet berekende en niet kende :
de bovenstaande berekening of redenering, of een benadering of
toepassing ervan, werd tot nog toe niet teruggevonden in de
literatuur.
2. Minimalisatie van de onreinheid van kwinten en grote tertsen binnen de diatonische C-groot toonaard, zonder criteria voor de kleine tertsen.
Een herhaling van de bovenstaande procedure, met uitsluiting van kleine
tertsen leidt tot volgende resultaten.
De
som
van de onreinheden, zonder met reine tertsen te
rekenen, wordt na uitwerking :
De aan nul gelijk gestelde partiëlen van de bovenstaande som, vormen na vereenvoudiging van de coëfficienten, een stelsel van zes lineaire vergelijkingen met zes onbekenden ; perfect oplosbaar dus.
| |
F3 |
C4 |
G3 |
D4 |
E4 |
B3 |
= |
A3 |
| δΣ/δF3 |
17 |
- 3 |
0 |
0 |
0 |
|
= |
10 |
| δΣ/δC4 |
- 3 |
19 |
- 6 |
0 |
- 10 |
0 |
= |
0 |
| δΣ/δG3 |
0 |
- 6 |
25 |
- 3 |
0 |
- 10 |
= |
0 |
| δΣ/δD4 |
0 |
0 |
- 6 |
13 |
0 |
|
= |
12 |
| δΣ/δE4 |
0 |
- 20 |
0 |
0 |
29 |
- 12 |
= |
6 |
| δΣ/δB3 |
0 |
0 |
- 5 |
0 |
- 3 |
8 |
= |
0 |
Verder kunnen de vijf gewijzigde noten, bekomen worden door eenvoudige gelijkstelling van de zweving van hun kwinten. Men bekomt aldus als oplossing van het geheel aan vergelijkingen :
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Zweving |
176,86 |
184,98 |
197,08 |
208,24 |
220,00 |
234,40 |
| q |
- 1,19 |
0,22 |
- 3,16 |
0,22 |
- 1,89 |
0,22 |
| p |
0,72 |
12,71 |
0,89 |
11,56 |
10,32 |
4,12 |
| r |
- 13.,95 | - 9,88 |
- 10,44 |
- 16,59 |
- 4,06 |
- 18,53 |
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 246,57 |
263,19 |
277,58 |
294,04 |
312,47 |
329,06 |
351,71 |
| 0,22 |
- 1,26 |
0,22 |
- 2,11 |
0,22 |
- 0,89 |
- 2,39 |
| 17,02 |
0,28 |
18,96 |
9,67 |
14,29 |
20,63 |
1,43 |
| - 9,24 |
- 16,80 |
- 20,20 |
- 5,65 |
- 24,99 |
- 3,56 |
- 27,90 |
Deze toonladder oogt veel beter dan de vorige. Ook hier kent men het minimum slechts na berekening, en de zwevingen van de kwinten verschillen nogal, zodat een voorschrift voor het auditief stemmen moeilijk te onthouden valt, en kennis en gebruik van een stemtabel dus vereist is. Ook hier kan men vaststellen dat de bovenstaande berekening of redenering, of een benadering of toepassing ervan, tot nog toe niet teruggevonden werd in de literatuur.
MINIMALISATIE van de SPREIDING van ONREINHEDEN (Terug naar Inhoud)
Behalve hierboven, gingen de voorgaande berekeningen van temperamenten in deze tekst allen voornamelijk terug op een gelijkheid van zwevingen. Vandaar dat men een optimalisatie zou kunnen wensen waarbij alle diatonische intervallen een zo gelijk mogelijke zweving zouden hebben. Een zo goed als mogelijke gelijkheid betekent een minimalisatie van de absolute waarden van de afwijkingen van een gemiddelde.
Bovenstaand croiterium betekent : Een minimalistie van de spreiding van de onreinheden
Voor een correcte analytische berekening dient er dus ook vooraf correct rekening te worden gehouden met de tekens van de afwijkingen. Bovendien dienen de kleine tertsen afzonderlijk te worden berekend op hun afwijking, gezien ze door hun grotere afwijkingen, - en ook door de zin waarin ze evolueren -, anders zouden kunnen leiden tot onaanvaardbare resultaten. Ook de niet-diatonische kwinten worden afzonderlijk behandeld. Al deze voorwaarden leiden tot de formules hieronder voor het berekenen van de afwijkingen van een gemiddelde onreinheid. Hieruit kan dan verder een correcte analytische berekening volgen op basis van de som van de kwadraten van deze afwijkingen :
Diatonische kwinten :
Diatonische grote tertsen :
Diatonische kleine tertsen :
Niet-diatonische kwinten :
Een eerste te minimaliseren expressie wordt aldus :
De som hierboven, wordt na uitwerking :
De gelijk aan nul gestelde partiële afgeleiden, worden na vereenvoudiging van de coëfficienten :
| N |
F3 |
4 |
G3 |
D4 |
E4 |
B3 |
= |
A3 |
| δΣ/δF3 |
1954 |
- 349 |
- 474 |
- 1031 |
290 |
270 |
= |
7 |
| δΣ/δC4 |
- 698 |
1979 |
- 978 |
61 |
- 370 |
270 |
= |
76 |
| δΣ/δG3 |
- 158 |
- 163 |
726 |
- 17 |
- 250 |
- 30 |
= |
- 10 |
| δΣ/δD4 |
- 2062 |
61 |
- 102 |
2651 |
- 74 |
- 1134 |
= |
49 |
| δΣ/δE4 |
- 290 |
- 185 |
- 750 |
- 37 |
958 |
- 378 |
= |
30 |
| δΣ/δB3 |
30 |
15 |
- 10 |
- 63 |
- 42 |
118 |
= |
1 |
De oplossing van de vergelijkingen in bovenstaande tabel, dient te worden aangevuld met de eenvoudige berekening van gelijke zwevingsfrequenties op de niet diatonale kwinten, - het is niet nodig via de meer ingewikkelde gelijkheid van de verschillen in onreinheid van de kwinten te gaan -, en leidt tot de uitslag in de volgend tabel :
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Zweving |
175,66 |
184,67 |
196,56 |
207,94 |
220,00 |
234,12 |
| q |
- 1,71 |
0,29 |
- 1,78 |
0,29 |
- 2,42 |
0,29 |
| p |
1,70 |
13,09 |
1,75 |
10,83 |
8,63 |
5,20 |
| r |
- 14,25 |
- 8,04 |
- 8,77 |
- 16,97 |
- 6,84 |
- 18,91 |
| cents |
10,33 |
- 3,03 |
4,95 |
2,40 |
0,00 |
7,66 |
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 246,13 |
262,63 |
277,16 |
293,94 |
312,06 |
328,79 |
351,32 |
| 0,29 |
- 1,66 |
0,29 |
- 1,83 |
0,29 |
- 1,83 |
- 3,43 |
| 17,55 |
1,99 |
19,49 |
7,67 |
12,19 |
19,58 |
3,41 |
| -7,09 |
- 15,51 |
- 19,00 |
- 7,07 |
- 25,60 |
- 7,15 |
- 28,51 |
| - 5,67 |
6,65 |
- 0,16 |
1,65 |
5,17 |
- 4,41 |
10,33 |
Toonladder met minimum spreiding van zwevingen op diatonische intervallen
Een aantal intervallen met quasi gelijke zwevingsfrequentie kunnen worden waargenomen. Er mag aldus verwacht worden dat een professionele stemmer in staat is om dit temperament op het oor te kunnen instellen, waarbij de zwevingsfrequentie van de diatonische kwinten en grote tertsen rond 1,85 ligt, hierbij natuurlijk rekening houdend met het vereist teken. Dit is op het oog zeer goed vergelijkbaar met het Welgetemperde Middentoon “Bach”-temperament (8 intervallen op - 1,95) en Vallotti (6 kwinten op - 1,59).
OPTIMALISATIE VAN EEN WELGETEMPERD KLAVIER (Terug naar Inhoud)
op basis van INTERVAL VERHOUDINGEN of CENTS
Een belangrijke kritiek op het uitwerken van een
optimaal welgetemperd temperament, op basis van zwevingsfrequenties van
intervallen, zou kunnen inhouden dat het streven naar een minimum
spreiding van zwevingsfrequenties geen rekening houdt met de toonhoogte
van de grondnoot van een interval ; het zou beter en logischer
kunnen zijn dat intervallen op hogere toonhoogtes inderdaad
proportioneel hogere zwevingsfrequenties zouden hebben. Het is daarom
zinvol om het toegepaste reinheidscriterium ook te evalueren, indien
gebaseerd op “klassiek” uitgedrukte onreinheden in verhoudingen of
cents, in plaats van op zwevingsfrequenties.
Dank zij de evenredigheid van
onreinheden worden de berekeningen zeer eenvoudig. Onafhankelijk van hun
toonhoogte zien we dat gelijke proportionele diatonische onreinheden op
kwinten leiden tot er aan gepaarde gelijkheden van de kwinten op zich,
en dus ook tot volmaakte gelijkheden binnen de groep van de diatonische
grote tertsen en kleine tertsen die er mee betrokken zijn. De enige
voorwaarde die daarom moet worden gesteld, vereist de gelijkheid van de
onreinheden van diatonische kwinten en grote tertsen in absolute
waarden. Dit kan binnen de toonladder op C-groot worden uitgedrukt
door :
Gelijkheid van de onreinheden :
gecombineerd met de onderstaande voorwaarde, dat vier kwinten min twee octaven, eindigen op een grote terts : eenvoudiger gezegd betekent dit dat een grote terts opgebouwd is met vier kwinten.
Of, na vereenvoudiging :
Bijgevolg :
kwint = 1,49627787 …
grote
terts =
1,25310949 …
De zes resterende kwinten, hier < kwintalt > genoemd, kunnen gelijk zijn, en moeten daarom voldoen aan :
en dus
Bekomen temperament :
(de onreinheden p, q, r worden hier in cents uitgedrukt)
| Noot |
F3 |
F#3 |
G3 |
G#3 |
A3 |
Bb3 |
| Cents |
175,56 |
184,75 |
196,53 |
207,93 |
220,00 |
234,03 |
| Zweving |
175,66 |
184,67 |
196,56 |
207,94 |
220,00 |
234,12 |
| q |
- 4,30 |
0,39 |
- 4,30 |
0,39 |
- 4,30 |
0,39 |
| p |
4,30 |
23,07 |
4,30 |
18,38 |
13,69 |
8,99 |
| r |
- 22,68 |
- 13,30 |
- 13,30 |
- 22,68 |
- 8,60 |
- 22,68 |
| cents |
9,39 |
- 2,35 |
4,69 |
2,35 |
0,00 |
7,04 |
| B3 |
C4 |
C#4 |
D4 |
Eb4 | E4 |
F4 |
| 246,27 |
262,69 |
277,18 |
294,06 |
311,97 |
329,18 |
351,13 |
| 246,13 |
262,63 |
277,16 |
293,94 |
312,06 |
328,79 |
351,32 |
| 0,39 |
- 4,30 |
0,39 |
- 4,30 |
0,39 |
- 4,30 |
- 4,30 |
| 23,07 |
4,30 |
23,07 |
8,99 |
13,69 |
18,38 |
4,30 |
| - 8,60 |
- 17,99 |
- 17,99 |
- 8,60 |
- 22,68 |
- 8,60 |
- 22,68 |
| - 4,69 |
7,40 |
0,00 |
2,35 |
4,69 |
- 2,35 |
9,39 |
Toonladder met minimum cents spreiding van diatonische intervallen
De verschillen tussen de hier gegeven “Cents”, en de voorheen bepaalde “Zweving”, liggen iets hoger dan gewoonlijk bij voorgaande vergelijkingen tussen temperamenten. Toch zijn de verschillen nog klein : gemiddeld 0,81 cent, met een maximum van 2,06 cent.
Hoewel het niet eenvoudig is om een alomvattend
criterium te definiëren voor de evaluatie van temperamenten [Hall D.;
p. 275-277], ‑ een dergelijk criterium is vermoedelijk
multidimensioneel ‑, worden hieronder een aantal temperamenten
vergeleken, op basis van de spreiding van de reinheidsverschillen van
kwinten, en grote en kleine tertsen ; dit criterium werd in deze
tekst inderdaad toegepast om een welgetemperd temperament te definiëren
dat optimaal is op gebied van gelijkheid van de onreinheden van de
diatonische intervallen van de C-groot toonaard.
Deze spreiding van onreinheden kan
worden berekend op basis van de frequenties van zwevingen op intervallen
enerzijds, maar anderzijds ook op basis van interval afwijkingen in
cents. Ze worden verder berekend voor een aantal temperamenten, met
onderstaande formule, toegepast binnen de F3 – E4 partitie :
Opmerkingen :
Voor de berekening van een “gestandaardiseerde” “diatonische
reinheidsspreiding” op basis van de zwevingen van de intervallen, voor
andere tonaliteiten dan C-groot, moet de waarde van de stemvork gelijk
zijn aan de toonhoogte van de sext van die tonaliteit.
De term 220/Stemvork moet
worden verwijderd voor berekeningen op basis van cents.
Doel van de berekening is vast te stellen welke historische temperamenten het best overeenkomen met het hier gesteld reinheids criterium. Resultaten voor andere temperamenten zijn zo nodig gemakkelijk bijkomend na te rekenen. Een aantal bekomen spreidingswaarden voor zwevingen en voor cents, worden in de tabel hieronder opgegeven.
Bij deze tabel dient te worden opgemerkt :
Temperamenten die met < (bach) > zijn gemerkt werden ooit geclaimd als door J. S. Bach toegepast.
Temperamenten die met < bps > zijn gemerkt, zijn herberekende temperamenten, op basis van een gelijkmatige verdeling van de komma, berekend op basis van zwevingen in plaats van verhoudingen of cents.
In beide kolommen staan de Welgetemperde Middentoon en Vallotti samen op de eerste plaatsen, bovenaan in de tabellen.
Doordat de Welgetemperde Middentoon en het Vallotti temperament samen bovenaan in de tabellen te staan, zou een met Vallotti gestemd klavier vandaag de dag wellicht de beste indicatie kunnen zijn van hoe “Das wohltemperirte Clavier” van J. S. Bach in zijn tijd zou hebben kunnen klinken, ... mocht de Welgetemperde Middentoon inderdaad ooit door Bach gebruik geweest zijn.
| Spreiding van zwevingen |
Spreiding van cents |
||
| Minimale zwevingsspreiding |
0.161 |
Minimale cent spreiding |
0.000 |
| Welgetemperde middentoon (bach) |
0.436 |
Vallotti - Tartini |
0.922 |
| Minimale cent spreiding |
0.696 |
Welgetemperde middentoon (bach) |
1.304 |
| Vallotti bps |
0.940 |
Minimale zwevingsspreiding |
1.388 |
| Vallotti - Tartini |
0.960 |
Vallotti bps |
1.738 |
| Barca (Devie) |
1.247 |
Barca (Devie) |
1.840 |
| Mercadier bps |
1.268 |
Mercadier bps |
2.792 |
| Kirnberger III bps (bach) |
1.427 |
Neidhardt-1 |
3.351 |
| Kellner bps (bach) |
1.450 |
Jobin (bach) |
3.488 |
| Kirnberger III (bach) |
1.457 |
Kirnberger III (bach) |
3.740 |
| Jobin (bach) |
1.504 |
Kirnberger III bps (bach) |
3.862 |
| Neidhardt-1 |
1.582 |
Kellner bps (bach) |
3.933 |
| Werckmeister III |
2.208 |
Vincentio Galilei 12-TET |
5.530 |
| Werckmeister III bps |
2.247 |
Werckmeister III |
5.672 |
| Vincentio Galilei 12-TET |
2.724 |
Werckmeister III bps |
5.954 |
MINIMUM SPREIDING EIGENSCHAPPEN (Terug naar Inhoud)
ONREINHEID van DIATONISCHE KWINTEN, en GROTE en KLEINE TERTSEN (Terug naar Inhoud)
Bij de beoordeling van temperamenten, worden de onreinheden van kwinten, grote en kleine tertsen uitgedrukt in cents, dikwijls grafisch weergegeven bij middel van een lijn- of balkendiagramma. Doet men dit op basis van zwevingen, dan krijgt men ondulerende zaagtanden in de figuur, omdat de sequenties van quinten op de abcis dan leiden tot grote frequentiesprongen van de grondtonen van de intervallen, waardoor de grafieken moeilijker te interpreteren zijn. Daarom worden de grafieken voor een onderlinge grafische vergelijking van de “Minimum cent spreiding” met Vallotti en de “Welgetemperde Middentoon” ook hier weergegeven in cents in plaats van zwevingen. Men kan ook grafisch zien dat deze drie temperamenten zeer nauw bij elkaar aansluiten. Ter vergelijking zijn in dunne lijn ook karakteristieken van de middentoon, en het gelijkzwevend temperament weergegeven alsook het niveau van Pytharoreïsche tertsen.
Volle
lijn : Minimale cent spreiding
Streeplijn : Vallotti
Streep-punt-lijn : Welgetemperde Middentoon
BELANG VAN DE HALFTONEN (Terug naar Inhoud)
Kelletat (1994) hecht in zijn publicaties alom zeer veel belang aan de halftonen, voor de klassieke zang. Hij vergelijkt de karakteristieken van de Kirnberger III halftonen ook met deze van de Middentoon, en besluit dat de Kirnberger III halftonen aanvaardbaar zijn. Hieronder een grafische vergelijking van deze halftonen, met deze van de Minimale Cent Spreiding. Voor de duidelijkheid van de grafiek zijn Vallotti en de Welgetemperde Middentoon weggelaten : ze verschillen haast niet.
Volle lijn : Kirnberger III
TONALITEIT (Terug naar Inhoud)
Een temperament met minimum spreiding werd bepaald, omdat dit tegemoet kan komen aan een optimalisatie op basis van auditieve waarnemingen, zonder enig hulpmiddel, en aldus zou kunnen stroken met wat een stemmer impliciet of intuïtief op het oor doet. De ganse problematiek is echter gestart bij de wens om de toonaard in C groot zo rein mogelijk te hebben. De kwadratisch gemiddelde reinheid van de kwinten, grote en kleine tertsen, van alle toonaarden werd berekend voor drie temperamenten : het temperament met optimale spreiding, in volle lijn hieronder, en de middentoon en de gelijkzwevende stemming, in streeplijn.
Op basis van de hierboven grafisch geïllustreerde karakteristieken van de toonaarden, wordt het overduidelijk, dat er grote verschillen zijn in het algemeen, tussen temperamenten, alnaargelang ze gelijkzwevend zijn, of bij de middentoon horen, of “welgetemperd”. Het streefdoel om een welgetemperde stemming te hebben, met een zo rein mogelijke toonaard voor C-groot, blijkt hier wellicht wel te zijn bereikt.
Deze “kwantitatieve” evaluatie van toonaarden, weerspiegelt in zekere mate mogelijke “kwalitatieve” indelingen door musici en musicologen ; een dergelijke indeling is bijvoorbeeld deze van Kirnberger (Kelletat, deel III, 199, pag. 89 ; Kirnberger, deel II, p. 74 e.v.), die de individuele muzikale karakteristieken van elke toonaard grondig bespreekt, en ze ook bondig groepeert in drie groepen volgens de tabel hieronder. Vergelijk de ligging van de toonaarden in de tabel, ook met hun ligging in de twee laatste grafieken hierboven :
Groep 1 heeft veruit de
reinste diatonische intervallen.
Groep 2 heeft groeiende vergroting van de onreinheid van tertsen.
Groep 3 heeft de minst reine tertsen, zowel groot als klein
| |
Grote terts toonaarden | ( = ) kleine terts toonaarden |
| 1 |
F, C, G, D |
d, a, e, b |
| 2 |
A, E, B, F# |
f#, c#, g#, eb
(vgl. d#) |
| 3 |
Db
(vgl.
C#), Ab
(vgl. G#), Eb, Bb |
bb, f, c, g |
EEN ZWEVENDE MUSICOLOGIE (Terug naar Inhoud)
De ontleding van temperamenten op basis van zwevingen
van intervallen heeft het mogelijk gemaakt om een aantal
karakteristieken van temperamenten meer diepgaand te belichten. Ze
ondersteunt de hypothese dat het auditief stemmen van een klavier vooral
steunt op een subjectieve beoordeling - niet met apparaten gemeten dus
-, naar gelijkheid van zwevingen op de belangrijkste diatonische
intervallen.
Deze ontleding heeft geleid tot
een rationeel verklaarbaar en plausibel voorstel voor een temperament
dat mogelijk door J. S. Bach zou zijn gestemd op zijn clavecimbel.
Bovendien blijkt dat het hier
voorgesteld Bach-temperament, - de welgetemperde middentoon -, en dat
volgens Vallotti, beiden samen veruit de best geklasseerden zijn, indien
beoordeeld vanuit het standpunt dat de onreinheden van de belangrijkste
diatonische intervallen een zo klein mogelijke spreiding zouden moeten
hebben, en dit zowel indien gemeten op basis van zwevingen, als
van verhoudingen.
Zoals reeds gesteld : een volgens
Vallotti gestemd klavier is zeer waarschijnlijk het klavier dat op zijn
best weergeeft hoe “Das wohltemperirte Clavier” bij Bach zou hebben
kunnen klinken.
Gelukkig kan er opgemerkt worden dat de verschillen in absolute toonhoogte en van karakteristieken in het algemeen, tussen temperamenten berekend op basis van verhoudingen, en deze berekend op basis van zwevingen, onbeduidend zijn. De verschillen zijn zo klein dat ze zeker niet meetbaar zijn met een monochord, waardoor ze in het verleden onopgemerkt bleven, en nu ook nog meestal, zelfs ook met de meest moderne meetapparatuur. Er is dus gelukkig meestal ook geen herziening nodig van publicaties op basis van verhoudingen, alhoewel men bij sommigen soms een foutje kan waarnemen door het impliciet of onachtzaam negeren of vergeten van de schismatische komma, zoals werd opgemerkt voor Vallotti en Werckmeister III, - die nochtans zeer belangrijke temperamenten zijn -, en wellicht nog anderen.
Buiten het rationele binnen deze tekst, blijft het feit dat de keus van een temperament artistiek volledig vrij is en vrij blijft, en dat deze keus daardoor, indien er bewust moet gekozen worden, meestal kan en mag geschieden op artistieke gronden, zoals, periode of aard van het stuk, bespeeld instrument, gewenste affecten, componist, uitvoerend muzikant, enz. …
Het wordt wellicht alsmaar moeilijker om met volle zekerheid te kunnen blijven stellen dat het gelijkzwevend temperament de meest geschikt welgetemperde stemming is voor persoonlijke privé muziek praktijk van een zo breed mogelijk muziek repertorium. Wellicht is een goede welgetemperde stemming, bij uitstek Vallotti, meer of het meest geschikt, … het evenwaardig voorgesteld Bach temperament, - de welgetemperde middentoon -, is haast niet gekend en aanvaard, en tóch ook iets moeilijker te stemmen. Wel blijft er een kleine kans misschien dat het ooit doorbreekt bij gespecialiseerde didactische demonstraties?
Het Vallotti temperament kan naar believen zowel auditief als op basis van metingen worden aangebracht ; de verschillen zullen haast niet meetbaar zijn, ... en auditief met zekerheid niet waarneembaar.
BIBLIOGRAFIE (Terug naar Inhoud)
Aaron P. 1523 : “Toscanello in musica”.
Allain-Dupré P. 2005 : “Justesses et Tempéraments” (academia.edu) variation of Lehman’s proposal.
Amiot E. 2008 : “Discrete Fourier Transform and Bach’s Good Temperament” ; MTO, Volume 15, Number 2, June 2009
Bach C. P. E. 1753 : “Versuch über die wahre Art des Clavier zu spielen, mit Exemplen und achtzen Probe=Stücken in sechs Sonaten”.
Barbour J. 1951 : “Tuning and temperament : a historical survey”.
Barnes J. 1979 : “Bach's Keyboard Temperament: Internal Evidence from the Well-tempered clavier" ; EarlyMusic, Volume 7, Issue 2, April 1979, Pages 236–249,
Billeter B. 1979 : “Anweisung zum Stimmen von Tasteninstrumenten in verschiedenen Temperaturen” (ISBN 3-7537-160-7).
Billeter B. 2008 : "Zur 'Wohltemperirten' Stimmung von Johann Sebastian Bach: Wie hat Bach seine Cembali gestimmt-" ; (Ars Organi Zeitschrift, 2008-3, p. 18-21)
Blaumont N. 2012 : “Scènes et Coulisses” ; Ed. Versant Sud
Bononcini G. M. 1673 : “Musico prattico : Che brevemente dimostra il modo di giungere alla perfetta cognizione di tutte quelle cose, che concorrono alla composizione de i canti, e di ciò ch'all'arte del contrapunto si ricerca: Opera ottava”. 1673
Bosanquet R. 1876 : “An elementary treatise on Musical Intervals and Temperament”. Macmillan & Co. 1876
Broekaert J. 2020 : “Le Mésotonique Tempéré de Bach” (Pianistik No 111, dec. 2020, p. 4-19)
Calvet A. 2020 : “Le Clavier Bien Obtempéré” ISBN 978-2-9541401-3-1.
Cramer G. 1750. Introduction à l'Analyse des Lignes Courbes
Algébriques. Frères Cramer and Cl.
Di Veroli C. 2008 : “Unequal Temperaments: Theory, History and Practice” (e-book) The Viola da Gamba Society Journal, Volume Four, (2010)
Di Veroli, C. 2018 : "Accurate Meantone Tuning based on
Fogliano." Harpsichord and Fortepiano, Vol. 23, no. 1, pp. 16-20,
United Kingdom 2018.
Euler, Leonhard (1739) : “Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae”. Sint Petersburg Academie.
Fletcher H., Munson W.A., 1933. : “Loudness, its Definition, Measurement and Calculation." The Journal of the Acoustical Society of America 5: 82-108.
Fletcher H., Stratton Richard, Blackham E. Donnell., 1962. : “Quality of Piano Tones." The Journal of the Acoustical Society of America 34: 749-761.
Fogliano, L. 1529.
Musica Theorica. G. A. Nicolini da Sabbio, Venezia, Italië.
Forkel J. 1802 : “Uber Johan Sebastian Bach’s Leben, Kunst und Kunstwerke”. Leipzig, Hoffmeister und Kuhnel. (Bureau de Musique). 1802.
Francis J. C. 2004 : “The Keyboard Temperament of J. S. Bach” (Eunomios).
Fritz B. 1757 : “Anweisung, wie man Claviere, Clavecins, und Orglen nach einer mechanischen Art, in alle zwölf Tönen gleich und rein stimme könne, daß aus solchen allen sowol dur als moll wohlklingend zu zpielen sein”. Leipzig 1757.
Galilei V. 1581 : “Dialogo di Vincentio Galilei . della musica antica, et della moderna”
Gerhard D., Hu H., 2019 : “Modelling 4-dimensional Tonal Pitch Spaces with Hopf Fibration”
Hall D., 1973 : “The Objective Measurement of Goodness-of-Fit for Tunings and Temperaments”, Journal of Music Theory, Vol. 17. No. 2. (Autumn 1973)
Hans Schneider – Tutzing}. ISBN 3-79521-004-6).
Interbartolo G., Venturino P., 2007 : Bach 1722 "Il temperamento de Dio". (ISBN A000068628).
ISO 16, 1975 : Acoustics, Standard tuning frequency (Standard musical pitch)
Jedrzejewski F. 2002 : “Mathématiques des systèmes acoustiques, Tempéraments et modèles contamporains”, Harmattan, Paris.
Jira M. 2000 : “Musikalische Temperaturen und Musikalischer Satz in der Klaviermusik von J. S. Bach” (2000,
Jobin E. 2005 : "BACH et le Clavier bien Tempéré" ; (website of "Clavecin en France").
Kelletat H. 1960 : “Zur musikalischen Temperatur”. Kassel, Oncken 1960
Kelletat H. 1966 : “Ein Beitrag zur musikalischen Temperatur der Musikinstrumente vom Mittelalter bis zur Gegenwart”. Reutlingen,
Kelletat H. 1981 : “Zur musikalischen Temperatur”; Band I. Johann Sebastian Bach und seine Zeit“. ISBN 3–87537 156–9
Kelletat H. 1982 : “Zur musikalischen Temperatur”. Band 2. Wiener Klassik”. ISBN 3-87537-187-9
Kelletat H. 1994 : “Zur musikalischen Temperatur” ; Band III. Franz Schubert”. ISBN 978–3–87537–239–5
Kellner H. 1977 : “Eine Rekonstruktion der wohltemperierten Stimmung von Johann Sebastian Bach“. Das Musikinstr. 26, 1977, 34-35
Kemp D. T. (1978) : “Stimulated acoustic emissions from within the human auditory system”. J Acoust Soc Am 64:1386–1391.
Kirnberger J. 1771 : “Die Kunst des reinen Satzes in der Musik”, ISBN 3-487-01875-6
Lehman B. 2005 : “Bach’s extraordinary temperament: our
Rosetta Stone – 1 ; – 2” (Early Music, vol. 33, No 1,feb 2005, p. 3-23
; vol. 33, No 2, may 2005 p. 211-231).
Reaction : a number of letters are addressed to “Early Music” : Jencka
D. (2005–8, p. 545) ; Maunder R. (2005–8, p. 545–546) ; Mobbs K.,
MacKenzie A. (2005–8, p. 546–547),
Lindley M. 1994 : "A Quest for Bach's Ideal Style of Organ Temperament" (M. Lustig, ed., Stimmungen im 17. und 18. Jahrhundert, Michaelstein, 1997).
Lindley M., Ortgies I. (2006-11) : “Bach style keyboard tuning” ; (Early Music, 2006-11, p. 613-623).
Marpurg F. 1776 : “Versuch über die musikalische Temperatur” ISBN 0-36408-671-8.
O’Donnell J. 2006 : “Bach's temperament, Occam's razor, and the Neidhardt factor” (Early Music, 2006–11, p. 625-633)
Plomp R. and Levelt W. J. M. 1965 : “Tonal Consonance and Critical Bandwidth”, The Journal of the Acoustical Society of America, 38, 548-560.
Raes G.-W. 1928 : “Kompositie, Inleiding tot de Kompositie, Experimentele Instrumentenbouw, Akoestiek en Klankonderzoek”. (syllabus Hogeschool Gent “School of Arts”) https://www.logosfoundation.org/kursus/index-kursus.html
Rasch R. 1984 : “Approaches to Tuning and Temperament”, Journal of the Acoustical Society of America.
Rayleigh J. 1877-1888 : “The Theory of Sound”
Romieu J. B. 1758 : “Mémoire théorique et pratique sur les systèmes tempérés de musique. Mémoires de l’Académie Royale des Sciences. Paris.
Rossi L. 1666 : ”Sistema musica ouero Musica speculativa. Stampa Episcopala, Perugia Italië.
Sauveur J. 1701 : “”Principes d’ Acoustique et de Musique ou Système Général des Intervalles des Sons. Mémoires de l’Académie. Paris.
Sethares W. 2005 : “Tuning, Timbre, Spectrum, Scale”, Springer, Londen
Sparschuh A. 1999 : “Stimm– Arithmetic des wohltemperierten Klaviers von J. S. Bach” (Deutsche Mathematiker Vereinigung, Jahrestagung 1999, Mainz, S. 154–155).
Spanyi M. 2006 : "Kirnberger's Temperament and its Use in Today's Musical Praxis" (Clavichord international – 11 (2007-5), 1, Seite 15-22).
Stevin S. 1585 : Van de Spiegheling der singconst
Tartini G. 1754 : “Trattato di musica secondo la vera scienza dell’ armonia” (p. 13).
Taylor B. 1715 : “Methodus incrementorum directa et inversa“.
Vallotti F. 1779 (1728) : “Della scienza teorica e pratica della moderna musica” (book 1).
Vallotti F. 1950 : "Trattato della Moderna"Musica"
Van de Heyning P. H. 2019 : Keel-neus-oorheelkunde en hoofd-halschirurgie”. ISBN 9789036820943
Verbeken B.
2016 : “Meetkundige Constructies”, p. 21, fig. 12. VUB
;https://we.vub.ac.be/sites/default/files/files/Bachelorproef_II_Brecht_Verbeken.pdf
von Helmholtz H. 1863 : Die Lehre von den Tonempfinfingen. Braunschweig ; Druck und Verlag von Friedrich und Sohn
Werckmeister A. 1681 : “Orgelprobe”. Theodorus Phil. Calvisius, Buchhändl in Quedlinburg
Werckmeister A. 1686 : “Musicae Hodegus Curiosus”. (ISBN 9783487040806)
Werckmeister A. 1691 : “Musicalische Temperatur”. Theodorus Phil. Calvisius, Buchhändl in Quedlinburg
Werckmeister A. 1698 : “Orgelprobe”. Leipzig, bei Johann Michael Teubner
Zarlino G. 1588 : “Sopplimenti musicali”
Zapf M. 2001 : "Handing down the Tradition: The survival of Bach's Finger Technique in an Obscure Nineteeht-Century Clavier Tutor". (De Clavicoridio V, sept. 2001, p. 39-44)
1“Un bruit qui coûte cher” ; cfr. Blanmont N. , 2012 : "Scènes et coulisses" ; Ed. Versant Sud.
2“Il faut toujours savoir pourquoi”
3Dati due suoni di qualunque strumento musicale, che posa protrarre, e rinforza il suono per quanto tempo si voglia (trombe, corni di caccia, strumenti d'arco, oboe ec.) si ha un terzo suono ; prodotto dall' urto de due volumi di aria mossi dalli due dati suoni.
Nulla importa al presente bisogno fisica del modo, con cui si produce questo terzo suono ; basta il fatto, e questo si ha debito di spiegare.
4Raes G.-W., https://www.logosfoundation.org/kursus/1086.html
5“Mathematics seductively swims below the surface of music.”
6“Wohltemperierung heißt mathematisch=akustische und praktisch=musikalische Einrichtung von Tonmaterial innerhalb der zwölfstufigen Oktavskala zum einwandfreien Gebrauch in allen Tonarten auf der Grundlage des natürlich= harmonischen Systems mit dem Bestreben möglichster Reinerhaltung der diatonischen Intervalle.”
7Das Betragen von herr Marpurgen gegen Ihnen ist verabscheuungswürdig. ….. Dasz meine und meines feel Vaters Grundsäsze antirameauisch sind, können Sie laut sagen
8Wer die Bachische Lehrmethode in der Composition nach ihrem Umfange kennen lernen will, findet sie in Kirnbergers Kunst des reinen Satzes hinlänglich erläutert.
9“Beyde Arten von Instrumenten müssen guttemperirt seyn, indem man durch die Stimmung der Quinten, Quarten, Probirung der kleinen und grossen Tertien und gantzer Accorde, den meisten Quinten besonders so viel von ihrer größten Reinigkeit abnimmt, daß es das Gehör kaum mercket und man alle vier und zwantzig Ton-Arten gut brauchen kan. Durch [9] Probirung der Quarten hat man den Vortheil, daß man die nöthige Schwebung der Quinten deutlicher hören kan, weil die Quarten ihrem Grund-Tone näher liegen als die Quinten. Sind die Claviere so gestimmt, so kan man sie wegen der Ausübung mit Recht für die reinste Instrumente unter allen ausgeben, indem zwar einige reiner gestimmt aber nicht gespielet werden. Auf dem Claviere spielet man aus allen vier und zwantzig Ton-Arten gleich rein und welches wohl zu mercken vollstimmig, ohngeachtet die Harmonie wegen der Verhältnisse die geringste Unreinigkeit sogleich entdecket. Durch diese neue Art zu temperiren sind wir weiter gekommen als vor dem, obschon die alte Temperatur so beschaffen war, daß einige Ton-Arten reiner waren als man noch jetzo bey vielen Instrumenten antrift. ...”
10“Seinen Flügel konnte ihm Niemand zu Dank bekielen ; er that es stets selbst. Auch stimmte er so wohl den Flügel als sein Clavichord selbst, und war so geübt in dieser Arbeit, daß sie ihm nie mehr als eine Viertelstunde kostete. Dann waren aber auch, wenn er fantasirte, alle 24 Tonarten sein ; er machte mit ihnen was er wollte. ...”
11So zweckmäßig und sicher Bachs Lehrart im Spielen war, so war sie es auch in der Composition. Den Anfang machte er nicht mit trockenen, zu nichts führenden Contrapuncten, wie es zu seiner Zeit von andern Musiklehrern geschah ; noch weniger hielt er seine Schüler mit Berechnungen der Tonverhältnisse auf, die nach seiner Meynung nicht für den Componisten, sondern für den bloßen Theoretiker und Instrumentenmacher gehörten.
