Muzikale Structuren

Terug naar hoofdpagina. _________________________ Druk deze tekst (pdf)


	Muzikale structuren Grondbeginselen

Woord vooraf

Deze tekst is niets meer dan een strikt rationele beschrijving van elementen en structuren in de muziek, waarmee een componist, een dirigent, een speler of zanger artistieke talenten kan ontplooien en voorbrengen tot meerder luistergenot van toehoorders en publiek.
Deze tekst is vergelijkbaar met de wetenschappelijke beschrijving van de kleuren, vormen en perspectief van schilderijen, of van de structuur en scheikundige samenstelling van eetwaren of geuren, deze dragen eveneens niets bij tot de artistieke waarde van een doek, of tot de prestaties van kok, œnoloog, of parfumeur.
Deze tekst verandert dus NIETS of voegt NIETS toe aan de huidige musicologische theorieën of inzichten. Hij is slechts een poging om alle elementaire rationele elementen betreffende muziek op een bondige en bevattelijke wijze samen te brengen.
De tekst kan gelezen worden zonder de formules in de tekst te begrijpen. De formules worden slechts gegeven, opdat de tekst volledig zou zijn voor diegenen die de formules wél begrijpen of er door geïnteresseerd zijn.
De tekst is bedoeld voor de volslagen leek op muzikaal gebied, want het is niet gemakkelijk om als leek elementaire "technische" literatuur op muzikaal gebied te vinden; cultureel historische literatuur daarentegen is er in overvloed.
De tekst kan dienen als basis om de tekst "Bach- and Well-Temperaments" begrijpelijk te kunnen lezen. In "Bach- and Well-Temperaments" wordt een objectieve definitie voorgesteld van de welgetemperde wijze van stemmen, waarbij het echter duidelijk moet zijn dat de muzikale definitie, bijvoorbeeld deze van Werckmeister, blijft primeren.

Klassieke muzikale vorming is en blijft vereist om artistieke muzikale prestaties te kunnen leveren. Dit ligt buiten het doel van deze tekst.

1 Muziek

Muziek is een geordende vorm van geluid, en bestaat uit een opeenvolging van in de tijd gespreide klanken. Een geluid is een door het oor waarneembare vorm van trillingen van de lucht. Trillingen in de lucht veroorzaken kleine luchtdrukvariaties, die zich in de omgeving voortplanten met een snelheid van circa 340 meter per seconde; dit is de snelheid van het geluid.
Een klank is samengesteld uit een som van al dan niet gedempte harmonische trillingen.

2 Harmonische Trillingen

Gedempte trilling: hiermee word een trilling bedoeld die in de tijd uitsterft, en niet een trilling waarvan het volume of de klank door een of ander kunstmiddel verminderd wordt.
Één gedempte harmonische trilling is een trilling die verloopt volgens een zuivere sinusoïde, die met de tijd exponentieel vermindert in volume.
Deze wijze van trillen wordt voorgesteld door figuur 1 en formule 1:


	Formule 1
In deze formule heeft men volgende definities: s : de dempingsfactor. deze bepaalt hoe snel de amplitude afneemt in de tijd	t :de tijd a : de amplitude f : de frequentie j : de faseverschuiving

Indien niet gedempt (dit is indien s =0, zodat

), dan wordt de harmonische trilling voorgesteld door figuur 2 en formule 2:


		Formule 2

3 Klanken

3.1 Periodieke trillingen

Veruit de meeste muziekinstrumenten genereren specifieke periodieke trillingen, en hebben daardoor een specifieke klank.
Periodieke trillingen zijn trillingen met een bepaalde golfvorm, die zich in de tijd steeds weer herhaalt.
Fourier (Frankrijk, 1768 - 1830) heeft aangetoond dat elke niet gedempte periodieke trilling, die wij hier f(t) noemen, kan ontleed worden in een som van niet gedempte harmonische trillingen, volgens formules 3 en 4 hieronder:


	Formule 3

met


	en		Formule 4

Volgens formule 3 is een ongedempte periodieke trilling dus samengesteld uit harmonische trillingen waarvan alle samenstellende frequenties een veelvoud zijn van een grondfrequentie. De harmonische met grondfrequentie kan zelf ook een component van de klank zijn, maar dit is niet noodzakelijk vereist: de grondfrequentie mag ook ontbreken in deze reeks.
Mathematisch uitgedrukt, luidt de frequentie-eis voor een harmonische muzikale klank:


met	n ³ 1, en geheel e_n zeer klein ten overstaan van f	Formule 5

Deze basisfrequentie f noemt men de grondtoon, of grondharmonische, of fundamentele harmonische,…
De bovenliggende frequenties noemt men boventonen of hogere harmonischen

Opdat een klank door het oor waarneembaar zou zijn, moeten de frequenties f_n voor zeer goed horende mensen liggen binnen een bereik dat gaat van 20 tot 20.000 trillingen per seconde (ook Hertz genoemd). De meeste mensen hebben echter een kleiner hoorbereik.
Klanken met bovenstaande eigenschappen zijn meestal zeer aangenaam voor het oor.
Enkele zeer eenvoudige klanken, echter niet van de beste op muzikaal gebied, worden bijvoorbeeld weergegeven in figuren 3 en 4:

3.1.1 De vierkantsgolf:

Fourier analyse van deze golfvorm geeft een harmonische inhoud volgens formule 6:

Formule 6

Deze klank bevat alleen oneven harmonischen.

3.1.2 De zaagtand:

Fourier analyse van deze golfvorm geeft een harmonische inhoud volgens formule 7:

Formule 7

Deze klank bevat even en oneven harmonischen.

3.1.3 Andere periodieke klanken:

Bij middel van Fourier-integraties uitgevoerd op meetkundig gedefiniëerde golfvormen, kunnen nog talloze andere voorbeelden theoretisch uitgewerkt worden.
Klanken die door akoestische muziekinstrumenten opgewekt worden zijn echter meestal veel complexer dan bovenstaande voorbeelden, maar voldoen wel aan de eis van formule 5.

Periodieke klanken zijn zeer belangrijk in de muziek, en zij worden voortgebracht door alle blaasinstrumenten, en door snaarinstrumenten die continu aangedreven worden, zoals bijvoorbeeld viool, cello, enz…

3.2 Frequentiespectrum van een klank

De kenmerkende akoestische en muzikale eigenschappen van een klank hangen vooral af van de frequentie en de amplitude van de verschillende harmonische trillingen die hem samenstellen, faseverschillen blijken niet belangrijk te zijn. Daarom worden de frequentie-componenten van de klank dikwijls grafisch weergegeven in een frequentiespectrum, zoals geschetst in figuren 5 en 6 hieronder:

3.3 Gedempte periodieke klanken

Men kan zoals bij niet gedempte periodieke klanken, vaststellen dat een gedempte periodieke klank samengesteld is uit harmonische trillingen, maar nu zijn ook deze gedempt. De frequenties van de harmonische componenten dienen ook hier te voldoen aan de vereisten van formule 5, dat ze allen een veelvoud zijn van één grondfrequentie.
Ook gedempte periodieke klanken zijn voor de muziek zeer belangrijk.
De beste gekende zijn de klanken voortgebracht door bijvoorbeeld piano, klavecimbel of harp.
Bij gedempte periodieke klanken dient er opgemerkt te worden dat niet alle harmonischen dezelfde demping moeten hebben. Dit heeft als effect dat de klank kan veranderen tijdens het uitsterven. Meestal sterven de hogere harmonischen het snelst uit.

3.4 Niet periodieke klanken

Het is niet steeds gemakkelijk een analyse te maken van de samenstelling van niet periodieke klanken. Niet periodieke klanken kunnen ontleed worden in een niet geordende som van harmonische trillingen, maar ze voldoen zeker niet aan de vereisten van formule 5.
Het meest extreem geval van niet periodieke klank is de zogenaamd "witte ruis".
Witte ruis omvat ALLE frequenties, met GELIJKE AMPLITUDE voor elke frequentie.
Men kan een zeer goede benadering van witte ruis horen bij een niet afgestemde ANALOGE FM-radio- of TV-ontvanger: bij DIGITALE telecommunicatie is er ook ruis, maar deze is ingevolge de digitale modulatie- en demodulatietechnieken niet meer waarneembaar.

4 Zwevingen

Indien men gelijktijdig twee harmonische trillingen van gelijke frequentie heeft, dan zullen deze versmelten tot één trilling op dezelfde frequentie, maar met gewijzigde amplitude en fase. Dit kan zeer eenvoudig mathematisch aangetoond worden.

Twee gelijktijdige trillingen van gelijke frequentie kunnen voorgesteld worden als:


	Formule 8

Enkele bewerkingen laten toe om dit te herschrijven als:


	Formule 9

In formule negen heeft men binnen de sinus slechts één term die functie is van de tijd en dus aanleiding geeft tot periodieke trillingen: de term 2.p.f.t.
De andere termen kunnen in de tijd veranderen indien ze een dempingsfactor bevatten in a en of b (zie formule 1) maar ze veroorzaken geen periodieke verschijnselen:

a en b zijn constanten
de bgsin functie heeft steeds een waarde tussen a (voor b=0) en b (voor a=0).
De demping heeft in de tijd dus hoogstens een beperkte invloed op de amplitude en de fase.

4.1 Zwevingen tussen harmonische trillingen

Indien twee harmonische trillingen een nagenoeg gelijke frequentie hebben, dan zullen ze versmelten tot één trilling van nagenoeg gelijke frequentie, maar waarbij in de trilling trage periodieke wijzigingen hoorbaar zijn, die men zwevingen noemt.

Zwevingen tussen harmonische trillingen zijn het best waar te nemen indien de twee harmonische trillingen een gelijke amplitude hebben, omdat ze dan samensmelten in één zwevende trilling zonder andere bijhorende geluiden. De frequentie van het hoorbaar geluid is dan het gemiddelde van de twee, en de frequentie waarmee dit geluid zweeft is zuiver mathematisch gesproken, gelijk aan het halve verschil van de twee, zoals aangetoond door formule 10, en in figuur 7 hieronder, opgemaakt bij middel van een simulatie in een rekenblad.

Formule 10

Belangrijke bemerking: bij akoestische waarnemingen spreekt men steeds van een akoestische zwevingsfrequentie, die gelijk is aan het HELE verschil van de twee frequenties, in plaats van het HALVE verschil, zoals weergegeven in de cosinus-functie van formule 9.

Zoals op figuur 7 kan vastgesteld worden, komt dit doordat de trilling twee maal door een maximum en een minimum gaat gedurende één periode van de cosinus-functie (de "mathematische" zwevingsfrequentie in deze formule).

Ook indien de twee harmonische trillingen ongelijke amplitude hebben kunnen er hoorbare zwevingen ontstaan: de zwevende trilling is een harmonische trilling met een frequentie die gelijk is aan de gemiddelde frequentie van de twee harmonische trillingen, maar die op een zeer complexe wijze in amplitude en fase gemoduleerd is op een frequentie gelijk aan de verschilfrequentie.

Dit kan vastgesteld worden aan de hand van figuur 8, en van formule 11 hieronder:

Formule 11

met

Voor ALLE gevallen waar een zweving optreedt, is de AKOESTISCHE zwevingsfrequentie dus:

f_zweving = f_a - f_b Formule 12

Afhankelijk van het verschil in toonhoogte van de twee oorspronkelijke harmonische trillingen, kunnen bepaalde zwevingsfrequenties voor het oor zeer hinderlijk zijn; deze combinaties noemt men dissonant.
Het vermijden van dissonanties is de vereiste waaraan men poogt te voldoen bij:

Het definiëren van de noten van een toonladder
Het stemmen van een instrument
Het uitwerken van harmonische akkoorden

Wanneer het verschil in frequentie van twee gelijktijdige harmonische trillingen voldoende groot wordt, worden ze beide opnieuw als afzonderlijke trillingen waargenomen.

4.2 Zweving tussen twee klanken

Ook in het geval dat men twee klanken tegelijk hoort, en klanken kunnen zoals hierboven uiteengezet talloze harmonischen bevatten, kan men zwevingen horen.
Wij bespreken hier een aantal tweeklanken die in de muziek belangrijk zijn, en waarbij er geen zwevingen worden waargenomen.
Omwille van de afwezigheid van zwevingen worden de hieronder besproken verhoudingen "rein" genoemd.

4.2.1 Verhouding 1/1 tussen grondtonen

De grondtonen en alle harmonischen van de twee klanken f₁ en f₂ hebben dus samenvallende frequenties.
Zelfs al zijn er mogelijk verschillen in amplitude, demping en fase, toch zullen de harmonischen van beide klanken steeds samenvallen en dus versmelten tot één nieuwe harmonische, zoals reeds aangetoond met de berekening van formules 8 en 9.

Bij afwezigheid van zwevingen spreekt men van een perfect unisono.
Een toonafstand tussen twee klanken wordt in de muziek een "interval" genoemd.
Het "interval", de toonafstand tussen twee klanken dus, met een frequentie-verhouding gelijk aan 1/1, krijgt als naam: "prime" (zie verder "5 Muzieknoten", in de toelichtingen bij tabel 4)^'.

Zodra er echter een klein verschil in frequentie optreedt zullen alle harmonischen van de ene klank zweven met de corresponderende harmonischen van de andere klank.
Dit verschijnsel is bijna steeds overduidelijk waarneembaar.
De frequentie van de zwevingen tussen de grondtonen bedraagt (zie ook formule 12):

f_zwevingen = f₂ - f₁ Formule 13 4.2.2 Verhouding 2/1 tussen grondtonen (f₂/f₁= 2)

De frequentiespectra van beide klanken zijn hieronder samen weergegeven in figuur 9.
Voor de eenvoud van de uiteenzetting wordt verondersteld dat alle getekende harmonischen éénzelfde amplitude hebben.

In de muziek definieert men dit interval als: "octaaf" (zie verder "5 Muzieknoten", in de toelichtingen bij tabel 4)^'.

Alle even harmonischen van f₁ vallen samen met alle harmonischen van f₂.
66% van alle harmonischen vallen dus samen.
Doordat zeer veel harmonischen samenvallen, zal een kleine verschuiving in de grondtoon volstaan om zeer sterk waarneembare zwevingen te hebben.

De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen de 2-de harmonische van f₁ en de grondtoon van f₂. De frequentie van deze zweving bedraagt:

f_zwevingen = f₂ - 2.f₁Formule 14 4.2.3 Verhouding 3/2 tussen grondtonen (f₂/f₁= 3/2)

De frequentiespectra van deze klanken staan geschetst in figuur 10 hieronder.

In de muziek definieert men dit interval als: "kwint" (zie verder "5 Muzieknoten", in de toelichtingen bij tabel 4).

Alle derde harmonischen van f₁vallen samen met alle even harmonischen van f₂.
40% van alle harmonischen vallen dus samen.
Een kleine verschuiving in de grondtoon zal leiden tot sterk waarneembare zwevingen, maar minder sterk dan bij het octaaf.
De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen de 3-de harmonische van f₁ en de 2-de harmonische van f₂. De frequentie van deze zweving bedraagt:

f_zwevingen = 2.f₂ - 3.f₁Formule 15 4.2.4 Verhouding 4/3 tussen grondtonen (f₂/f₁= 4/3)

De frequentiespectra staan geschetst in figuur 11 hieronder.

In de muziek definieert men dit interval als: "kwart" (zie verder "5 Muzieknoten", in de toelichtingen bij tabel 4)^'.

Alle vierde harmonischen van f₁ vallen samen met alle derde harmonischen van f₂.
29% van alle harmonischen vallen dus samen.
Een kleine verschuiving in de grondtoon zal leiden tot sterk waarneembare zwevingen, maar minder sterk dan bij de kwint.
De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen de 4-de harmonische van f₁ en de 3-de harmonische van f₂. De frequentie van deze zweving bedraagt:

f_zwevingen = 3.f₂ - 4.f₁Formule 16 4.2.5 Verhouding 5/4 tussen grondtonen (f₂/f₁= 5/4)

De frequentiespectra staan geschetst in figuur 12 hieronder.

In de muziek definieert men dit interval als: "grote terts" (zie verder "5 Muzieknoten", in de toelichtingen bij tabel 4).

Alle vijfde harmonischen van f₁ vallen samen met alle vierde harmonischen van f₂.
22% van alle harmonischen vallen dus samen.
Een kleine verschuiving in de grondtoon zal leiden tot waarneembare zwevingen. Op sommige instrumenten, afhankelijk van de harmonische samenstelling van de klank, is de onzuiverheid van de grote terts niet meer zo gemakkelijk waar te nemen.
De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen de 5-de harmonische van f₁ en de 4-de harmonische van f₂. De frequentie van deze zweving bedraagt:

f_zwevingen = 4.f₂ - 5.f₁Formule 17 4.2.6 Verhouding 6/5 tussen grondtonen (f₂/f₁= 6/5)

De frequentiespectra staan geschetst in figuur 13 hieronder.

In de muziek definieert men dit interval als: "kleine terts" (zie verder "5 Muzieknoten", in de toelichtingen bij tabel 4).

Alle zesde harmonischen van f₁ vallen samen met alle vijfde harmonischen van f₂.
19% van alle harmonischen vallen dus samen.
Een kleine verschuiving in de grondtoon zal leiden tot waarneembare zwevingen. Van alle hier besproken tweeklanken zijn de zwevingen van deze tweeklank het moeilijkst waar te nemen.
De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen de 6-de harmonische van f₁ en de 5-de harmonische van f₂. De frequentie van deze zweving bedraagt:

f_zwevingen = 5.f₂ - 6.f₁Formule 18 4.2.7 Verhouding 5/3 tussen grondtonen (f₂/f₁= 5/3)

De frequentiespectra staan geschetst in fuguur 14 hieronder.

In de muziek definieert men dit interval als: "sext" (zie verder "5 Muzieknoten", in de toelichtingen bij tabel 4).

Alle vijfde harmonischen van f₁ vallen samen met alle derde harmonischen van f₂.
25% van alle harmonischen vallen dus samen.
Een kleine verschuiving in de grondtoon zal leiden tot waarneembare zwevingen.
De laagst waarneembare zweving heeft plaats tussen de 5-de harmonische van f₁ en de 3-de harmonische van f₂. De frequentie van deze zweving bedraagt:

f_zwevingen = 3.f₂ - 5.f₁Formule 19

4.2.8 Meer dan twee klanken

Een zeer klassieke combinatie omvat bijvoorbeeld het samenbrengen van vier klanken met frequentieverhoudingen 1, 5/4, 3/2 en 2/1, maar er zijn nog talloze andere mogelijkheden.
Bij de hier gestelde combinatie is het alsof er een nieuwe klank ontstaat met grondfrequentie gelijk aanf₁/4, maar waarvan een aantal harmonischen ontbreken: zoals de grondtoon zelf, en de harmonischen met rang 2, 3, 7, 9, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23 ….
Zie figuur 15: alle bestaande harmonischen vallen steeds samen met een verdeling of tussenverdelingen op f₁, representatief voor de harmonischen op f₁/4.

Goed klinkende combinaties van klanken krijgen in de muziek de naam "akkoord".

Het is meestal niet eenvoudig of evident om de samenklank van muzikale akkoorden te verduidelijken en te verklaren, zoals gedaan in dit voorbeeld.
Het is zelfs mogelijk dat bepaalde klanken mooi samenklinken op bepaalde muziekinstrumenten, en op andere dan weer niet, afhankelijk van de harmonische structuur van de klank van het instrument.

De klassieke muziekleer bestudeert zeer grondig de harmonie van akkoorden, en de "Harmonieleer" is voor deze muziek een uitzonderlijk belangrijk vak.

5 Muzieknoten

Deze paragraaf bespreekt rekenkundige structuren waarop muzieknoten kunnen worden opgebouwd. Het cultureel-historisch facet van hun ontstaan wordt hier niet besproken.

Onder paragraaf 4 werd de basisstructuur van aangename samenklanken geanalyseerd.
De besproken verhoudingen waren samengesteld op basis van priemgetallen: 1, 2, 3 en 5. Men zou ook kunnen denken aan verhoudingen opgebouwd met hierop volgende priemgetallen, maar dit wordt in de klassieke muziek nauwelijks toegepast. De factor 7 is meestal zelfs niet gewenst omdat ervaren werd dat zijn gebruik storend kan interfereren met de andere verhoudingen.

Men kan reeksen van klanken uitbouwen die paarsgewijs goed zullen samenklinken, bij middel van een opeenvolgend gebruik van de onder 4 besproken verhoudingen.
Dit leidt tot de klankverzameling van de klassieke muziek: de muzieknoten.

5.1 Gebruik van de verhouding 2/1 - het octaaf

Het gebruik van de verhouding 2/1 op zich leidt tot de reeks …1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16, …

Bij akoestische waarneming van klanken volgens deze reeks ervaren wij deze als weinig van elkaar verschillend, met bovendien nog ruimte voor klanken met tussenliggende toonhoogte.
Een groep op zich van klanken die zich verhouden als 2/1 is daarom te beperkt voor het maken van muziek, maar is toch zeer belangrijk.
Doordat de mens klanken volgens deze reeks als gelijk ervaart, met alleen het verschil in toonhoogte, krijgen ze in de muziek éénzelfde naam: de naam van één noot.
Voor de noot "la" bijvoorbeeld heeft men voor de reeks van grondharmonischen de volgende frequenties:

20 £ 27,5 55, 110, 220, 440 Hertz, 880, 1.760, 3.520, 7.040, 14.080 £ 20.000

Noot: Doordat een klank harmonischen bevat, kan ons oor soms ook klanken lager dan 20 Hertz waarnemen. De grondtoon zal in dit geval niet gehoord worden, maar men zal wel alle harmonischen boven 20 Hz kunnen horen. Dit doet zich bijvoorbeeld voor bij de laagste tonen van een orgel. De frequentie van de noot "la" is internationaal genormaliseerd op de toonhoogte 440 Hertz, maar er zijn afhankelijk van plaats en tijd, of ook muziekstuk of -instrument, andere frequenties gangbaar, of gangbaar geweest.

5.2 Gebruik van de verhouding 3/2 - de kwint

5.2.1 De Pentatonische toonladder

Men kan zoals hierboven (onder 5.1), een reeks van klanken definiëren, waarbij deze nu steeds met een factor 3/2 verhoogd of verlaagd worden, in plaats van 2. Dit geeft een reeks van 5 noten.
Men bekomt de waarden in tabel 1.

Noot fa do sol re la

Verhouding,
in machten van 2 en 3
2²/3 = 4/3 1 3/2 (3/2)² = 9/8 (3³/2⁴) = 27/16

Decimale waarde 1.333.. 1 1,5 1,125 1,6875

Toonhoogte,
Met la op 440
347,65.. 260,74.. 391,11.. 293,33.. 440

Tabel 1

Noot: Omdat, zoals onder 5.1 besproken, het octaaf een belangrijke verhouding is, werden de verhoudingen in tabel 1 wel steeds teruggebracht naar het octaaf waarvan we zijn vertrokken: ze moeten daartoe door bijkomende vermenigvuldiging(en) of deling(en) door 2 naar waarden gelegen tussen 1 en 2 teruggebracht worden.
Kijk vooral naar de stijgende machten van 3, om de volgorde te begrijpen. Tabel 1 herschikt volgens toonhoogte geeft tabel 2:


Pentatonische toonladder
Noot	do	re	fa	sol	la
Toonhoogte	260,74..	293,33..	347,65..	391,11..	440
Tabel 2

Bovenstaande reeks wordt pentatonisch genoemd, -de pentatonische toonladder-, omdat de reeks uit vijf elementen is opgebouwd. Door bijkomende vermenigvuldigingen of delingen met factor 2 kan men deze reeks herhalen in hogere of lagere octaven.

5.2.2 De diatonische toonladder volgens Pythagoras (ca. 582 v.Chr. – 500 v.Chr.)

De reeks in tabel 1 kan desgewenst verder naar boven worden uitgebreid met mi en si:

Noot fa do sol re la mi si

Verhouding 2²/3 1 3/2 (3/2)² 3³/2⁴ 3⁴/2⁶ 3⁵/2⁷

Decimale waarde 1.333.. 1 1,5 1,125 1,6875 1,2656.. 1,8984..

Toonhoogte 347,65.. 260,74.. 391,11.. 293,33.. 440 330 835,31..

Tabel 3

Of herschikt volgens toonhoogte, en toevoeging van de eerstvolgende "do":

Diatonische toonladder - Volgens Pythagoras

Noot do re mi fa sol la si do

Verhouding 1 (3/2)² 3⁴/2⁶ 2²/3 3/2 3³/2⁴ 3⁵/2⁷ 2

Decimale waarde 1 1,125 1,265.. 1.333.. 1,5 1,6875 1,898.. 2

Toonhoogte 260,7.. 293,3.. 330,0 347,6.. 391,1.. 440,0 495,0 521,4..

Letternaam c' d' e' f' g' a' b' (h') c"

Afstand t.o.v. do prime seconde terts kwart kwint sext septiem octaaf

Tabel 4

Deze toonladder bevat vijf "gehele tonen", verhouding 9/8: do-re, re-mi, fa-sol, sol-la, la-si.
Hij bevat twee "halve tonen", verhouding 2⁸/3⁵(1,0535…): mi-fa, si-do.

Figuur 16 illustreert de plaats van de noten uit tabel 4 op een notenbalk met sol-sleutel, in stijgende volgorde c', d', e', f', g', a', b', c":

Figuur 16

Toelichtingen bij tabel 4:

In de tabel worden namen van de toonafstanden opgegeven; in dit geval ten overstaan van de noot do. De naam van een interval wordt bepaald door het aantal noten te tellen die binnen het interval liggen, met inbegrip van de eerste en de laatste noot.

Voorbeeld: voor de afstand mi tot si, heeft men: < mi (1) - fa (2) - sol (3) - la (4) - si (5) > het interval mi tot si is dus een kwint.

De tabel bevat (onreine) grote en kleine Tertsen:

Grote Terts: do-mi, fa-la, sol si = 1,265 (benadert 1,25)
Kleine Terts: re-fa, mi-sol, la-do, si-re = 1,185 (benadert 1,2)

Alle kwinten en kwarten zijn rein.
In de tabel worden ook "letternamen" van noten gegeven.

In het Duits taalgebied wordt voor de noot si de letter h gebruikt (tussen haakjes in de tabel), in plaats van b.

Men kan de letternamen een specifiek formaat geven, om aan te duiden in welk octaaf een noot ligt. Van laag naar hoog heeft men:

…...(LETTER), met een teken vóór de LETTER, afhankelijk van het aantal octaven naar onder, (of ook met de LETTER een aantal keren ondergestreept)"(LETTER) of ook ₂(LETTER): octaaf met la = 27,5 (of ook 2 x ondergestreept)
'(LETTER) of ook ₁(LETTER): octaaf met la = 55 (of ook 1 x ondergestreept)
(LETTER): octaaf met la = 110
(letter): octaaf met la = 220
(letter)' of ook (letter)¹ : octaaf met la=440 (of ook 1 x bovengestreept)
(letter)" of ook (letter)² : octaaf met la = 880 (of ook 2 x bovengestreept)
enz, …

5.2.3 De Chromatische toonladder (volgens Pythagoras)

Door verdere opeenvolgende vermenigvuldigingen of delingen met 3/2, gepaard aan delingen of vermenigvuldigingen met 2 om binnen het initieel octaaf te blijven, om dus de verhouding terug te brengen tot een getal gelegen tussen 1 en 2, kan men de reeks gedefinieerd in tabel 3 nog verder uitbreiden, zowel naar boven als naar onder toe.

Naar boven toe creëert men opeenvolgend noten met een kruis (#) en dubbel kruis als wijzigingsteken:

fa#, do#, sol#, re#, la#, mi#, si#, fa## (faX), do## (doX), sol## (solX), re## (reX), la## (laX), mi## (miX), si## (siX), … of ook:

fis, cis, gis, dis, ais, eis, bis (his), fisis, cisis, gisis, disis, aisis, eisis, bisis (hisis), …

Naar onder toe creëert men opeenvolgend noten met een bemol (b) en dubbel bemol als wijzigingsteken:

sib, mib, lab, reb, solb, dob, fab, sibb, mibb, labb, rebb, solbb, dobb, fabb, …

of ook:

bes (b), es, as, des, ges, ces, fes, beses (bes), eses, ases, deses, geses, ceses, feses, … (noteer dat "bes" volgens duitstalige notitie een "b" is) Beperkt tot de toegevoegde noten fa#, do#, sol#, sib en mib, verkrijgt men tabel 5 hieronder:


Chromatische toonladder - volgens Pythagoras
Noot	do	do#	re	mib	mi	fa	fa#	sol	sol#	la	sib	si	do
Verhouding	1	3⁷/2¹¹	(3/2)²	2⁵/3³	3⁴/2⁶	2²/3	3⁶/2⁹	3/2	3⁸/2¹²	3³/2⁴	2⁴/3²	3⁵/2⁷	2
Decimale waarde	1	1,067	1,125	1,185	1,265	1.333	1,898	1,5	1,601	1,687	1,777	1,898	2
Toonhoogte	260,7	278,4	293,3	309,0	330,0	347,6	371,3	391,1	417,7	440,0	463,5	495,0	521,4
Tabel 5

Toelichtingen bij tabel 5, en bij systemen die men hieruit kan afleiden door verdere uitbreidingen naar boven en onder toe:

Bij uitbreiding met re# (dis), kan men vaststellen dat re# bijna gelijk is aan mib (es).
Bij uitbreiding met lab (as), kan men vaststellen dat lab bijna gelijk is aan sol# (gis).

Om deze reden beperkten we voorlopig het aantal noten in tabel 5 tot 12.

Als men afziet van de vernoemde kleine verschillen is het alsof de rij van twaalf noten (zeven (witte) noten en vijf (zwarte) "gewijzigde" noten) zichzelf steeds weer herhaalt, waarbij men in een cirkel ronddraait: zie figuur 17, deze cirkel heeft de naam "kwintencirkel". Meer precies gesteld kan men van een kwintenspiraal spreken.

Noten, zoals es en dis, en gis en as in figuur 17, en andere noten die bij uitbreiding bijna gelijk zijn, hebben een verhouding gelijk aan de factor

3¹²/2¹⁹ = 1,013643…

Deze noten noemt men "enharmonisch".
Deze verhouding 3¹²/2¹⁹ = 1,013643… wordt een Pythagorische komma genoemd

De noten met een kruis liggen steeds iets hoger dan de noten met een bemol, en wel met een factor 3¹²/2¹⁹ = 1,013643…: de Pythagorische komma.

Noot: er bestaan muziekinstrumenten, waarbij een aantal toetsen met gewijzigde noten (de "zwarte" toetsen van een piano) gesplitst zijn, teneinde bij een muziekuitvoering het onderscheid te kunnen maken tussen kruis en bemol.

Alle kwinten in tabel 5 zijn rein (verhouding 3/2 = 1,5), behalve de kwint sol# - re# (re# vervangt mib), die men ook kan beschouwen als de kwint lab (lab vervangt sol#) - mib.

De waarde van deze kwint bedraagt 2¹⁸/3¹¹= 1,479811. Zoals kan nagegaan worden is ook dit weer één Pythagorische komma verschillend van de reine kwint.

Men noemt deze kwint een wolfskwint omdat de zwevingen van deze kwint het huilen van een wolf evoceren.

Natuurlijke en Chromatische halve tonen:

De natuurlijke halve toon: alle halve tonen tussen noten met een verschillende naam

do# - re, re - mib, mi - fa, fa# - sol, sol# - la, la - sib, si - do

Deze toonafstand heeft een verhouding = 2⁸/3⁵ = 1,053498, die ongeveer gelijk is aan vier Pythagorische komma's: (1,013643…)⁴ = 1,0557 » 1,053498

Noot: de waarden 1,0557 en 1,053498 verhouden zich als:

3⁵³/2⁸⁴= 1,00209031404109 (zie verder hieronder)

De chromatische halve toon: alle halve tonen tussen noten met gelijke naam

Do - do#, mib - mi, fa - fa#, sol - sol#, sib - si

Deze toonafstand heeft een verhouding = 3⁷/2¹¹ = 1,067871, die ongeveer gelijk is aan vijf Pythagorische komma's: (1,013643…)⁵ = 1,070103 » 1,067871

Noot: de waarden 1,070103 en 1,067871 verhouden zich ook hier als:

3⁵³/2⁸⁴= 1,00209031404109 (zie verder hieronder)

Indien men alle komma's binnen een octaaf samentelt bekomt men 53 komma's. Dit is zeer opvallend, want 53 lijkt een nogal willekeurig getal, maar 3⁵³/2⁸⁴ = 1,00209031404109, een waarde die opnieuw uiterst dicht bij één ligt.

De Duitse wiskundige Nicholas Mercator (1620-1687) heeft ooit voorgesteld om 53 noten per octaaf te hebben.

Andere verhoudingen die ook dicht bij één liggen, maar niet steeds even goed als voor de macht 53, zijn bijvoorbeeld:

24: dit geeft 3²⁴/2³⁸ = 1.027475668… en er werd reeds muziek met toonafstanden van 1/4 noot geschreven en uitgevoerd.
41: dit geeft 3⁴¹/2⁶⁵ = 0.988602548… er is ons geen toepassing hiervan in de muziek gekend
306: dit geeft 3³⁰⁶/2⁴⁸⁵ = 0.998978283… de beste waarde totnogtoe, maar geen gekende muzikale toepassing
Nog hoger: er bestaan zeker nog verhoudingen met nog hogere machten van 3 die zeer dicht bij één liggen, maar het heeft geen zin er hier verder op in te gaan, want er is zoals bij 41 en 306 geen verband meer met muziek

De volgorde van ontstaan van kruisen en bemol, zoals hierboven uitgewerkt door opeenvolgende vermenigvuldigingen of delingen door 3/2, heeft natuurlijk ook zuiver muzikaal zijn belang. De met kruisen en bemol gewijzigde noten maken het mogelijk om in verschillende toonaarden te spelen.

De Pythagorische diatonische toonladder (5.2.2) kan zonder wijzigingstekens opgetekend worden op een notenbalk (zie figuur 16).

"Gewijzigde" noten worden op dezelfde lijn als de oorspronkelijke noten genoteerd, maar om de wijziging duidelijk te maken worden er wijzigingstekens vooraan op de notenbalk genoteerd, volgens figuur 18.
De volgorde waarin de wijzigingstekens genoteerd worden, komt overeen met de volgorde waarin de wijzigingen ontstaan: fa, do, sol, re, la, mi, si voor de kruisen; en omgekeerd si, mi, la, re, sol, do, fa voor de bemol.
Mits behoud van de juiste volgorde en dus vertrekkend met een fa# of een sib, kan een notenbalk, geen, of één, of meerdere kruisen of bemol bevatten, nooit kruisen en bemol tegelijk
De aldus genoteerde voortekens zijn bepalend voor de toonaard van een muziekstuk:


	Figuur 18

Snaren op strijkinstrumenten zijn ook in de hier beschreven volgorde aangebracht, en de naburige snaren op deze instrumenten, die dus een kwint vormen, worden met elkaar gestemd door het wegwerken van de zwevingen tussen deze snaren

Toonaarden:

De Pythagorische diatonische toonladder (5.2.2, tabel 3) heeft de toonaard C groot, omdat er een grote terts staat op de grondnoot C. Hij heeft ook de toonaard A klein, omdat er een kleine terts staat op de noot A.
Bij toevoeging van wijzigingstekens kan men exact dezelfde reeks toonverhoudingen terugvinden als in de toonladder tabel 3, maar men moet daartoe telkens van uit een andere grondnoot vertrekken. Men bekomt de reeks toonaarden gegeven in tabel 6.


Toonaarden
Geen # of b	C groot (*)	A klein (*)
#	G groot (*)	E klein (*)	b	F groot (*)	D klein (*)
##	D groot (*)	B klein (*)	bb	Bes groot (*)	G klein (*)
###	A groot (*)	Fis klein (*)	bbb	Es groot (*)	C klein (*)
####	E groot (*)	Cis klein (*)	bbbb	As groot (*)	F klein (*)
#####	B groot (*)	Gis klein (*)	bbbbb	Des groot	Bes klein (*)
######	Fis groot (*)	Dis klein (*)	bbbbbb	Ges groot	Es klein (*)
#######	Cis groot (*)	Ais klein	bbbbbbb	Ces groot	As klein
Tabel 6

(*): Alle toonaarden die met (*) gemerkt zijn, zijn toonaarden die gebruikt zijn in "Das Wohltemperierte Klavier" van J. S. Bach.

5.3 Gebruik van verhoudingen 3/2, 5/4 en 6/5

De natuurlijk harmonische toonladder, ook reine stemming genoemd.
(Aristoxenos, 4e eeuw v.Chr; Zarlino, 1517 - 1590).

Ook de terts is in de muziek zeer belangrijk.
De tertsen binnen een pythagorische wijze van stemmen hebben echter geen goede kwaliteit. Hun verhouding bedraagt:

Voor de grote terts, bijvoorbeeld do tot mi: 81/64, dit is 1,265625, en dit wijkt tamelijk sterk af van de reine verhouding, die 5/4 (= 1,25) bedraagt
Voor de kleine terts, bijvoorbeeld mi tot sol: 2⁵/3³, dit is 1,185.., en dit wijkt tamelijk sterk af van de reine verhouding, die 6/5 (= 1,2) bedraagt

Om bovenstaande redenen werd gezocht naar structuren die kunnen leiden tot betere tertsen.
De toevoeging aan de verhouding 3/2, van de verhoudingen 5/4 en 6/5 en combinaties van deze verhoudingen, heeft geleid tot de toonladder in tabel 7.


Natuurlijk harmonische toonladder
c	2/1	2/1	2	Bij vergelijk van de waarden in tabel 7 met deze van de Pythagorische toonladder in tabel 5 stelt men vast: Men heeft eenvoudiger verhoudingen, en dit draagt bij tot een betere welluidendheid Bij enharmonische noten zijn de kruisen kleiner dan de bemols in plaats van groter. De natuurlijke halve tonen zijn groter dan de chromatische halve tonen, in plaats van het omgekeerde
b	15/8	3/2 x 5/4	1,875
bes	16/9	4/3 x 4/3	1,7777..
ais	225/128	[(5/4)² x (3/2)²] / 2	1,757813
a	5/3	5/4 x 4/3	1,6666..
as	8/5	2 / (5/4)	1,6
gis	25/16	5/4 x 5/4	1,5625
g	3/2	3/2	1,5
ges	64/45	4 / (3/2 x 3/2 x 5/4)	1,4222..
fis	45/32	[(3/2)²x 5/4] / 2	1,40625
f	4/3	4/3	1,3333..
e	5/4	5/4	1,25
es	6/5	6/5	1,2
dis	75/64	[(5/4)² x 3/2] / 2	1,171875
d	9/8	(3/2 x 3/2) / 2	1,1111..
des	16/15	2 / (5/4 x 3/2)	1,0666..
cis	25/24	(5/4) / (6/5)	1,0416..
c	1	1	1
Tabel 7

5.4 Gebruik van andere verhoudingen

Een recent en gekend, doch specifiek experiment, is de toonladder volgens Huygens-Fokker, met 31 toetsen voor 31 noten per octaaf, geïmplementeerd op een speciaal daartoe gebouwd orgel. Het priemgetal 7 zou mee verwerkt zijn in een aantal muzikale intervals.

6. Het temperen

De onder 5 voorgestelde structuren hebben een aantal nadelen:

Problemen voor de bouw van toetsinstrumenten met 12 toetsen per octaaf
Problemen van wijziging van harmonie bij transpositie van een muziekstuk naar een andere toonaard: bepaalde akkoorden kunnen dan na transpositie eventueel anders klinken dan bedoeld door de componist.

Transpositie: alle toonafstanden binnen een muziekstuk worden bewaard, maar alle noten worden tegelijk een gelijk aantal toonafstanden naar boven of onder toe verschoven

Ze bevatten een aantal dissonanten, of zelfs een wolfskwint

Daarom werden er tientallen varianten bedacht die met wisselend succes verbeteringen poogden in te voeren. Hierbij worden steeds een aantal dissonante intervals "getemperd", opdat ze een aanvaardbare muzikale klank zouden verkrijgen.

6.1 De middentoon

De middentoon werd ontwikkeld ten behoeve van klavierinstrumenten, en beperkt daartoe het aantal toetsen per octaaf tot 12 (de 7 "witte" en de 5 "zwarte" toetsen bij een piano).

In dit systeem wordt de grote terts op do in twee gelijke delen verdeeld, -vandaar de naam van deze structuur-, en worden cis en es met een vierde komma gecorrigeerd. Alle andere noten worden bekomen door op deze noten reine grote tertsen te bouwen.
Van alle structuren bevat deze structuur het grootst aantal reine tertsen: 8 in totaal.

"Vierde komma" Middentoon

c" 2/1
526,4
De middentoon is door zijn structuur een zeer welluidende tempering in de minder verwijderde toonaarden (dit zijn toonaarden met weinig wijzigingstekens aan de notenbalk; zie ook figuur 18 en tabel 6).
De middentoon heeft het nadeel een zeer sterke wolfskwint te bevatten: de kwint op gis.
Daarom bestaan er ook hierop een aantal varianten.

b' g x 5/4
491,9

bes' fis x 5/4
470,8

a' f x 5/4
440,0

gis' e x 5/4
411,2

g' es x 5/4
393,5

fis' d x 5/4
367,8

f' cis x 5/4
352,0

e' c x 5/4
329,0

es' 6/5 / (1/4 komma)
314,8

d' (10/9) x 1/2 komma = (9/8) / (1/2 komma)
294,2

cis' 25/24 x 1/4 komma
275,0

c' 1
263,2

Tabel 8

6.2 Het gelijkzwevend temperament

Dit is het meest éénduidig temperament, en wellicht ook publiek het meest algemeen gekend.

Hierin worden de twaalf kwinten volledig gelijk gemaakt, en daardoor zijn ook de twaalf halve tonen in een octaaf allen gelijk. Een halve toon heeft daarom de waarde:

Formule 20

Dit geeft dus volgende octaafindeling:

Noot c' cis' d' es' e' f' fis' g' gis' a' bes' b' c"

Verhouding 1 2^1/12 2^2/12 2^3/12 2^4/12 2^5/12 2^6/12 2^7/12 2^8/12 2^9/12 2^10/12 2^11/12 2

Toonhoogte 261,6 277,2 293,7 311,1 329,5 349,2 370,0 392,0 415,3 440,0 466,2 493,9 523,2

Tabel 9

De kwinten wijken slechts zeer weinig af van de volledig zuivere kwint, want de relatief kleine pythagorische komma wordt door deze indeling door twaalf gedeeld en over de kwinten verspreid.
De tertsen, groot en klein, wijken allen gelijk en tamelijk sterk af van een reine terts, en dit is het grootste nadeel van deze indelingswijze, vooral voor muziekinstrumenten zoals orgel of klavecimbel, met klanken met rijke harmonische inhoud, waardoor de onzuiverheid van de terts sterk doorklinkt.
Omwille van de irrationele verhouding van toonhoogtes, kan dit temperament niet of slechts zeer moeilijk op het oor ingesteld worden, zonder gebruik van hulpmiddelen.

Een misverstand, dat J. S. Bach (1685 - 1750) het gelijkzwevend temperament zou gebruikt hebben voor zijn muziekstuk "Das wohltemperierte Klavier", heeft zeer lang standgehouden, en leeft nog steeds zeer sterk bij het groot publiek. Het is slechts dank zij een grondig en kwalitatief historisch-cultureel onderzoek door Prof. H. Kelletat (1907 - 2007), gepubliceerd in zijn levenswerk "Zur musikalischen Temperatur" (3 delen), dat zeer recent (~1980) het inzicht is ontstaan dat J. S. Bach wellicht gewerkt heeft met het welgetemperd Kirnberger III temperament, of een temperament dat dit zeer dicht benadert (zie verder).

6.3 Wel getemperde temperamenten

Werckmeister (1645 - 1706) definieerde aan welke criteria een welgetemperd temperament dient te voldoen (Orgelprobe 1681), en zijn definitie wordt nog steeds aanvaard. "Wohltemperierung heiszt mathematisch-akustische und praktisch-musikalische Einrichtiung von Tonmaterial innerhalb der zwölfstufigen Oktavskala zum einwandfreien Gebrauch in allen Tonarten auf der Grundlage des natürlich-harmonischen Systems mit Bestreben möglichster Reinerhaltung der diatonische Intervalle.
Sie tritt auf als proportionsgebundene, sparsam temperierende Lockerung und Dehnung des mitteltönigen Systems, als ungleichschwebende Semitonik und als gleichschwebende Temperatur." (Orgelprobe, 1681) Beknopte vereisten opdat een temperament wel getemperd zou zijn komen er dus op neer dat men in om het even welke toonaard moet kunnen spelen en transponeren op een klavierinstrument met twaalf toetsen per octaaf, zonder verlies aan muzikale kwaliteiten van het stuk.

Bovenstaand criterium is een heel duidelijk muzikaal criterium, maar is moeilijk in objectieve criteria om te zetten.

In de periode waarin de meeste wel getemperde temperamenten werden ontwikkeld bestonden er nog geen hulpmiddelen om toonhoogtes met hoge precisie te meten. Al deze temperamenten hebben daardoor het gemeenschappelijk kenmerk dat ze op het gehoor kunnen ingesteld worden, door waarneming van zwevingen.

Door verschillen in muzikale smaak of voorkeur, en gebrek aan objectieve criteria en meetmiddelen, zijn er in de loop van de geschiedenis meerdere licht verschillende wel getemperde temperamenten ontwikkeld.

Wellicht is een temperament ontwikkeld door Kirnberger (1721 - 1783), het zogenaamd "Kirnberger III - ungleich" temperament, een van de meest belangrijke, zoniet het belangrijkste welgetemperd temperament.

Kirnberger III unequal

Noot c' cis' d' es' e' f' fis' g' gis' a' bes' b' c"

Frequentie
263,1

277,2

294,5

311,8

328,9

350,8

370,0

393,8

415,8

440,0

467,7

493,3

526,2

Tabel 10

Dit temperament kan op het oor worden ingesteld. De eigenlijke basis van dit temperament wordt gegeven in onderstaande tabel 11 (uit: H. Kelletat; "Zur musikalischen Temperatur"), en de toonhoogtes van tabel 10 hierboven kunnen daaruit afgeleid worden, op basis van formules 16 en 18.

In te stellen zwevingen per seconde, voor "Kirnberger III - ungleich"

Kwint g'/c' gis'/cis' a'/d' bes'/es' b'/e' c"/f' cis"/fis' d"/g' es"/gis' e"/a' f"/bes' fis"/b'

1,7 0 3,5 0 0 0 1,25 3,4 0 4,5 0 0

Terts e'/c' f'/cis' fis'/d' g'/es' gis'/e' a'/f' bes'/fis' b'/g' c"/gis' cis"/a' d"/bes' es"/b'

0 17,4 7,5 15,9 18,7 6 21 4,5 26 17,5 17,2 28

Tabel 11

Bij het instellen van het octaaf tijdens het stemmen, moet er vooral op de zwevingen van de kwinten gelet worden, behalve voor de grote terts op do waar men geen zweving wenst en de grote terts op sol die ook redelijk zuiver dient te zijn.

Belangrijkste eigenschappen van de welgetemperde wijze van stemmen.

Voor temperamenten die dicht bij het KirnbergerIII-ungleich temperament liggen kan men de kenmerken grafisch voorstellen in figuur 18:

Grote tertsen:
Men heeft zo goed als reine tertsen op c en g, en de omgevende tertsen ontaarden geleidelijk aan naar Pythagorische tertsen.
Kleine tertsen:
E is bijna rein, en verder een zelfde verloop als bij de grote tertsen.
Kwinten:
Vijf kwinten wijken een weinig af van de reinheid.

De kenmerken van tertsen en kwinten hebben als gevolg dat de toonaarden in C en G groot zo goed als natuurlijk harmonische toonaarden zijn (zie 5.3), waarbij men bij het zich verwijderen van deze toonaarden evolueert naar toonaarden die volledig Pythagorisch zijn (zie 5.2.2): Cis en Fis groot. Men heeft degelijke kwinten voor alle toonaarden. Dit temperament is dus niet belast met een "wolfskwint".
Vermoedelijk zijn het deze eigenschappen die het wezen zijn van de muzikale kwaliteiten van deze wijze van stemmen, een temperament dat bovendien zeer waarschijnlijk sterk gewaardeerd werd door J. S. Bach (cfr. prof. H. Kelletat).

7 Meting van een Toonhoogte

7.1 Meetmethode

Uit voorgaande hoofdstukken blijkt dat de toonhoogte van een klank, of de verhouding van toonhoogtes van klanken, sleutelelementen zijn in de muziek.
Het is mogelijk om vertrekkend van één referentienoot alle andere noten af te leiden, zonder dat daartoe enig meetinstrument vereist is, gewoon door bij opeenvolgende goed uitgekozen noten, meestal kiest men vooral kwinten en octaven, te letten op de zwevingen.

Men heeft aldus gedurende eeuwen muziekinstrumenten gestemd zonder enig meetmiddel, en men doet dit nog steeds.
Indien men een objectief zicht wil hebben over de wijze waarop een muziekinstrument gestemd is, dan is het vereist om de toonhoogte van de klank te kunnen meten.
Klassieke frequentiemeters gebruikt in de elektrotechniek voldoen meestal niet om de toonhoogte van een klank te kunnen meten:

Zuivere muziek vereist dat men tot minstens vier cijfers nauwkeurig moet kunnen meten, en bij lage frequenties vergt dit een lange meettijd.
Deze meters tellen het aantal keren dat een signaal de nullijn of een bepaald niveau kruist gedurende een gekozen tijdsperiode, maar bij complexe klanken is het mogelijk dat het signaal gedurende één periode meerdere keren de nullijn of een ingesteld niveau kruist, zodat er een verkeerde telling gebeurt van het aantal perioden gedurende de meettijd, wat duidelijk blijkt uit het voorbeeld in figuur 19, hieronder, waarin T de periode is van het signaal:

Vooral bij uitstervende klanken, bijvoorbeeld deze van een piano of klavecimbel, kan men problemen hebben met niveau en meettijd.
Bij lage tonen kan men de periode van het signaal meten in plaats van de frequentie, wat de meettijd voor deze noten aanzienlijk verkort, maar ook deze soort meting blijft gevoelig aan het meervoudig kruisen van een ingesteld niveau

Omwille van het bovenstaande zijn meestal specifieke instrumenten vereist bij het meten van muzikale toonhoogtes. Ook met digitale computers, die nu met voldoende rekenvermogen alom tegenwoordig zijn, kan men zeer goed toonhoogtes meten, mits gebruik van daartoe geschikte programma's.

7.2 Meetschaal

7.2.1 De "Cent"

Het gelijkzwevend temperament ligt voor de muziek aan de basis van een zeer veel gebruikte toonhoogte meetschaal, met een zeer verfijnde indeling van het octaaf.
Hierbij wordt het octaaf in 1.200 evenredige delen verdeeld, cent genoemd, zodat men 100 cent per halve noot van het gelijkzwevend temperament heeft. Deze toonverhouding heeft dus de in formule 21 berekende waarde.

Formule 21

Voor het gemak van het vergelijken en berekenen van toonafstanden wenst men een schaal waarbij men toonafstanden met elkaar kan optellen en aftrekken, in plaats van ze te moeten vermenigvuldigen en delen. Dit kan door te rekenen met de logaritme van de verhoudingen. Aangezien men 1200 logaritmische cents wenst in één octaaf, bij een verhouding 2 dus, kan men een toonafstand in cent berekenen bij middel van formule 22.

Een toonafstand in cent
Formule 22

Praktisch alle muzikale toonhoogtemeters zijn geijkt volgens het gelijkzwevend temperament, en ze meten aldus de afwijking in cents ten overstaan van de meest nabijgelegen noot van dit temperament.

7.2.2 Savart (1791-1841)

Savart heeft eveneens een logaritmische schaal voor toonhoogtes gedefinieerd. Bij deze schaal komt een toonhoogteverhouding 10/1 overeen met 1000 savart.
Mits een kleine afronding (met slechts ongeveer 0,3 % fout), kan nagerekend worden dat één savart overeenkomt met vier cent.
Deze schaal wordt bijna nooit gebruikt.

8 Waarneming van muziek door het oor

8.1 Herkenning van de toonhoogte

De wijze waarop het oor geluid waarneemt wordt nog steeds verder onderzocht, en veel aspecten in verband met geluidswaarneming door de mens zijn nog niet met zekerheid objectief wetenschappelijk gekend.
Onderstaande bespreking geeft daarom slechts een zeer summiere en uiterst vereenvoudigde beschrijving van de werking van het oor.

Geluid, muziek, treedt het binnenoor binnen via het trommelvlies en loopt over een aantal gehoorbeentjes tot bij het ovaal venster van het slakkenhuis. Het geluid doorloopt vandaar verder het slakkenhuis, waarbinnen een basilair membraan is gespannen waarop ongeveer 29.000 trilhaartjes kunnen meetrillen. De ontrolde lengte van slakkenhuis en membraan bedraagt ongeveer 35 mm.
Er zijn ongeveer 25.000 zogenaamd "buitenste trilhaartjes" die het ontvangen geluid zouden versterken, en ongeveer 3.500 zogenaamd "binnenste trilhaartjes" die verbonden zijn met de gehoorzenuw. De binnenste trilhaartjes prikkelen de gehoorzenuw, die de signalen doorgeeft aan de hersenen.
Het basilair membraan is stijf en smal bij de ingang aan het ovaal venster en wordt elastischer en breder naar de top van het slakkenhuis. Deze structuur van het basilair membraan heeft als gevolg, dat het aan de ingang van het slakkenhuis sterk zal meetrillen met hoge frequenties, en aan de top van het slakkenhuis met lage frequenties.
De plaats waar het meetrillen met het inkomend geluid maximaal is, is dus functie van de frequentie, en ligt van hoog naar laag over de lengterichting van het basilair membraan verdeeld.
Het oor realiseert aldus een soort van frequentie analyse, die zeer goed vergelijkbaar is met de wijze waarop een Fourier integraal (zie formules 3 en 4) een klank analyseert.

In de wetenschappelijk niet geverifieerde veronderstelling dat voor het menselijk oor:

Elk binnenste trilhaartje, dank zij het basilair membraan op één bepaalde toonhoogte zou "afgestemd" zijn,
Er een gelijke verhouding in toonhoogte zou zijn tussen alle opeenvolgende binnenste trilhaartjes,

zou men een toonhoogteverhouding tussen de trilhaartjes van het menselijk oor bekomen die gelijk zou zijn aan deze in formule 23 hieronder:


	Formule 23

Een vergelijk van deze waarde met de waarde van:

één pythagorische komma: 1.013643…(een halve komma = 1.0068…)
of met de waarde 3⁵³/2⁸⁴: 1.002093…
of met de waarde van één cent: 1.0005779…

ondersteunt de wetenschap dat het menselijk oor uiterst gevoelig is voor afwijkingen in frequentie, van een klank. Men vermeldt gevoeligheden tot 1/2 komma (ong. 1.0068…) voor muzikaal getrainde waarnemers.
Anderzijds moet hier opgemerkt worden dat de exacte wijze waarop het oor in staat is om toonhoogtes zo fijn te herkennen nog steeds niet volop wetenschappelijk verklaard is. Bovenstaande redenering voldoet NIET, want er is wel reeds geweten en vastgesteld dat de frequentie selectiviteit van het basilair membraan en van de trilhaartjes niet volstaat om de selectiviteit van het oor in zijn geheel te verklaren op de wijze zoals hierboven verondersteld. De hersenen, "het muzikaal geheugen", en mogelijk nog andere elementen zoals bijvoorbeeld de intensiteit waarmee een trilhaartje wordt aangesproken spelen zeer waarschijnlijk ook een zeer belangrijke rol.

8.2 Gevoeligheid van het oor - Gehoorcurve

Het oor is gevoelig voor verschillen in geluidssterkte, en heeft een zeer hoog dynamisch bereik. De gevoeligheid is ook afhankelijk van de frequentie.

Bij het ouder worden vermindert de gevoeligheid van het oor door verzwakking van de buitenste haarcellen.

De buitenste haarcellen kunnen beschadigd geraken en definitief hun functie verliezen bij blootstelling aan te hoge geluidsintensiteit, wat leidt tot verzwakking van het gehoor.

Figuur 20 geeft een ruwe schets van de gevoeligheid van het oor bij een normaal volwassen persoon. De "foon" lijnen zijn lijnen van gelijke gevoeligheid, en deze lijnen werden experimenteel bepaald door proeven met een representatieve groep luisteraars. Bij de frequentie 1000 Hz wordt de "foon" gelijk gesteld aan de "deciBel".

Het geluidsniveau in deciBel is een maat voor de door het geluid veroorzaakte drukvariaties, en is een objectieve fysische grootheid. Het geluidsniveau in deciBel wordt bekomen door toepassing van formule 24, waarin p₀ een genormaliseerde referentie drukvariatie is, en p₁ de gemeten drukvariatie veroorzaakt door het geluid.

Geluidsniveau in dB
Formule 24

Vb: - De geluidsdruk bij 100 dB is 100.000 maal sterker dan de geluidsdruk bij 0 dB.
- Een geluidsdruk verhouding gelijk aan 2, komt overeen met ongeveer 3 dB verschil

Figuur 20 laat ook zien dat het oor het gevoeligst is rond een frequentie van ongeveer 3.000 Hz, en dat deze gevoeligheid snel vermindert naar hogere frequenties, en vooral ook naar lagere frequenties toe.

9 Problemen bij het stemmen van muziekinstrumenten

9.1. Structuur van een octaaf

Op basis van al het bovenstaande is het duidelijk dat een octaaf op een klavier met 12 toetsen NOOIT kan ingedeeld worden in intervals die allen zuiver zijn.
Het instellen van de twaalf noten in een octaaf gaat daarom dwingend gepaard met het aanvaarden van een aantal compromissen; het kiezen van een gewenst temperament.
Men zal de keus van een welbepaald temperament laten afhangen van een aantal muzikale criteria, artistieke criteria dus, die deel uitmaken van de artistieke vrijheid van de muzikant, maar die ook functie zijn van de periode waarin een stuk werd geschreven en van het soort muziekinstrument waarop het zal worden uitgevoerd.

9.2 Structuur van de klank

Er is echter meer dan alleen maar de structuur van het octaaf.
Bij een fysiek akoestisch muziekinstrument zal men vaststellen dat de reeks van harmonischen nooit precies gelijk valt met een reeks van gehele veelvouden van de grondfrequentie: de factor "e" in de formule 5 is dus niet gelijk aan 0 (nul).

De redenen hiervan zijn:

Unidimensionele trillichamen zoal snaar of luchtkolom:

De harmonischen zijn slechts zeer precies gelijk aan een geheel veelvoud van de grondtoon in het theoretisch geval dat de snaar of luchtkolom oneindig dun is, de snaar oneindig soepel en zonder wrijving met de lucht, de wanden van de luchtkolom oneindig stijf en de lucht zonder enige viscositeit, ….. Het is slechts in dit geval dat de knopen of buiken van de trilling precies overeenkomen met de uiteinden van snaar of luchtkolom. Bij een reële snaar of luchtkolom is dit niet het geval, met een afwijking van de perfecte harmonische reeks, zoals gesteld in formule 5, als gevolg.

Stretching:

Bij snaren liggen de harmonischen gewoonlijk iets hoger dan verwacht. Gevolg is dat bij het stemmen op het oor de intervals iets groter worden, zodanig dat gemeten naar de grondtoon toe, de octaven iets gerekt worden; zie figuur 21.

Dit verschijnsel is verschillend van instrument tot instrument, omdat het afhangt van de kwaliteit van het instrument en van de snaren, en is het sterkst bij de laagste en de hoogste noten:

Bij de laagste noten omwille van de kunstmatige verzwaring, verdikking, van de snaar bij middel van omwikkelingen met bronsdraad. Dit maakt dat de snaar sterk afwijkt van het theoretisch model.
Bij de hoogste noten doordat de snaar zich ingevolge haar stijfheid gedeeltelijk als een staaf begint te gedragen

Trillichamen met twee of drie dimensies:
Met twee dimensies: bijvoorbeeld een trillend vlies zoals bij een pauk
Of drie dimensies, vb.: een trillend lichaam zoals bij een klok of ook heel wat perkussie-instrumenten

Theoretische analyse van de trileigenschappen van deze lichamen toont aan dat de "harmonischen" zeer sterk kunnen afwijken van gehele veelvouden van de grondtoon. Slechts in geval van specifieke verhoudingen in vorm en afmeting kan men deze afwijkingen beperken.

Deze instrumenten zijn bijgevolg zeer moeilijk te stemmen.

Klanken met zwakke of geen grondtoon.

Theoretische analyse van de klank die bijvoorbeeld wordt voortgebracht door een ideale snaar (oneindig dun en soepel) die op 1/7 van haar lengte door een ideale hamer (oneindig dun en hard) wordt aangeslagen, dit teneinde de 7-de harmonische te vermijden, leidt tot de harmonische structuur gegeven door formule 25 (de faseverschuivingen worden hier niet in rekening gebracht), en figuur 22.


		Formule 25

Noot: Bij een reële snaar en hamer is er een verzwakking naar hogere tonen toe. Men kan zich ook nog andere mogelijke harmonische structuren voorstellen, waarbij er een aantal harmonischen ontbreken. Bij al deze klanken met zwakke lagere harmonischen kan het gemakkelijker zijn om te stemmen op bijvoorbeeld de 3-de of 4-de harmonische, of nog een andere, in plaats van op de grondtoon.
Bij de laagste pianotonen bijvoorbeeld kan het bijna niet anders.

8.3 Toonhoogte waarneming van complexe klanken,

of van veelvuldige klankbronnen op "gelijke" toonhoogte

Samenspel van verschillende instrumenten, bijvoorbeeld in een orkest, en samenzang, bijvoorbeeld in een koor, blijken muzikaal perfect mogelijk en zelfs zeer gewenst en aangenaam. Het feit dat elk instrument of elke zanger een zelfs uiterst miniem toonhoogteverschil met anderen kan hebben blijkt niet te storen: op een of andere manier synthetiseert het oor één klank uit het geheel aan quasi gelijke toonhoogtes, en het waarnemen van zwevingen blijft achterwege, behalve indien slechts twee klankbronnen tegelijk een nagenoeg gelijke toon produceren (zie ook hoofdstuk 4).

Ook bij een niet perfect harmonische klank, kan de vraag gesteld worden welke toonhoogte door een luisteraar zal waargenomen worden:

De toonhoogte volgens de grondharmonische
De toonhoogte volgens de meest luide harmonische
Een toonhoogte bepaald volgens een of ander soort gewogen gemiddelde of een ander geschikt algoritme

Hierop is tot op heden geen door iedereen aanvaard éénduidig antwoord gekend. Er loopt nog zeer veel onderzoek over de menselijke waarneming van toonhoogtes.

Op een of andere wijze kan het oor onder de bovenbeschreven omstandigheden dus tóch toonhoogtes herkennen.
Bij wijze van voorbeeld, en dit zonder te beweren dat autocorrelatie de aangewezen techniek zou zijn om de werking van het oor te simuleren, geven we hieronder een via rekenblad gesimuleerd voorbeeld, hoe voor twee ogenschijnlijk totaal verschillende signalen de gelijke toonhoogte op basis van deze techniek toch precies kan bepaald worden.

Figuur 23 geeft:

Een beeld van een (ogenschijnlijk eenvoudig) signaal waarvan alle harmonischen in de oorsprong een fase gelijk aan nul hebben
De met dit signaal overeenkomende autocorrelatiefunctie

Figuur 24 geeft:

Identiek hetzelfde signaal als dat van Figuur 23, maar waarbij de harmonischen in de oorsprong beginnen met een statistisch willekeurig gekozen fase
De autocorrelatie die opvallend identiek is met deze in figuur 23

Talloze varianten van het signaal in figuur 24 die exact dezelfde harmonische inhoud hebben als deze van figuur 23 en 24 kunnen berkekend en bekeken worden bij middel van het bestand autocor_2.xls.

De autocorrelatie van een functie is een tamelijk complexe bewerking, die numerisch (digitaal) echter toch tamelijk eenvoudig te implementeren valt, mits veel rekenwerk; wat geen probleem meer is voor de huidige huiscomputers.
De autocorrelatie vertrekt met een niet te overtreffen maximum waarde in de oorsprong.
Het eerstvolgende en gelijk maximum van de autocorrelatie van een periodische functie geeft aan wanneer de tijd van één periode van de periodische functie verlopen is.
Deze eigenschappen volgen onmiddellijk uit de definitieformule van de autocorrelatie:

Formule 26

Indien de periodieke functie zachtjesaan wijzigt in de tijd, zullen de opeenvolgende maxima stilaan zwakker worden.
De autocorrelatie en andere digitale algoritmes worden tegenwoordig bijvoorbeeld reeds toegepast voor de automatische herkenning van muziekstukken, waarbij sequenties en tijden van opeenvolgende noten automatisch kunnen vastgesteld worden.

Uit de voorbeelden in figuur 23 en 24 moet blijken hoe krachtig en complex het oor in samenwerking met de hersenen zijn functies vervult, want het oor zal beide klanken ervaren als gelijke klanken, met een resultaat dat vergelijkbaar is met dat van de autocorrelatie.

Besluit

Met deze tekst werd gepoogd om op elementaire wijze een tipje van de sluier te lichten omtrent de wetenschappelijke complexiteit van de muziek en het muzikaal gehoor.

Gelukkig maar blijft de artistieke complexiteit in de muziek primeren, …

zoals het inderdaad ook hoort.

Johan Broekaert, juli 2010